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- 2021-06-16 发布
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同角三角函数的基本关系与诱导公式
建议用时:45分钟
一、选择题
1.若=,则tan θ=( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
D [因为==,
所以2(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ,
所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3.]
2.若tan α=,则sin4α-cos4α的值为( )
A.- B.
C. D.-
D [∵tan α=,∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)·(sin2α-cos2α)===-,故选D.]
3.已知α∈(0,π),且cos α=-,则sin·tan(π+α)=( )
A.- B. C.- D.
D [sin·tan(π+α)=cos α·tan α=sin α,因为α∈(0,π),且cos α=-,所以sin α===,即sin·tan(π+α)=.故选D.]
4.若θ∈,则等于( )
A.sin θ-cos θ B.cos θ-sin θ
C.±(sin θ-cos θ) D.sin θ+cos θ
A [因为
==
=|sin θ-cos θ|,
又θ∈,所以sin θ-cos θ>0,
所以原式=sin θ-cos θ.故选A.]
5.(2019·武汉模拟)cos=,则sin等于( )
A. B.
C.- D.-
A [sin=sin
=cos=.]
二、填空题
6.sin π·cos π·tan的值是 .
- [原式=sin·cos·tan
=··
=××(-)=-.]
7.若角α的终边落在第三象限,则+= .
-3 [由角α的终边落在第三象限,
得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.]
8.在△ABC中,若tan A=,则sin A= .
[因为tan A=>0,所以A为锐角,
由tan A==以及sin2A+cos2A=1,
可求得sin A=.]
三、解答题
9.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值:
(1);
(2)sin2α+sin 2α.
[解] 由已知得sin α=2cos α.
(1)原式==-.
(2)原式=
==.
10.已知α为第三象限角,
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos=,求f(α)的值.
[解] (1)f(α)=
==-cos α.
(2)因为cos=,所以-sin α=,
从而sin α=-.
又α为第三象限角,所以cos α=-=-,所以f(α)=-cos α=.
1.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 021)的值为( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
D [∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)
=asin α+bcos β=3,
∴f(2 021)=asin(2 021π+α)+bcos(2 021π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asin α-bcos β=-3.]
2.(2019·长春模拟)已知θ是第一象限角,若sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ的值为( )
A. B.-
C. D.
C [∵sin θ-2cos θ=-,∴sin θ=2cos θ-,
∴2+cos2θ=1,
∴5cos2θ-cos θ-=0,
即=0.
又∵θ为第一象限角,∴cos θ=,
∴sin θ=,∴sin θ+cos θ=.]
3.已知α为第二象限角,则cos α+sin α= .
0 [原式=cos α+sin α
=cos α+sin α,
因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α+sin α=-1+1=0,
即原式等于0.]
4.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ,且θ∈(0,2π).
(1)求+的值;
(2)求m的值;
(3)求方程的两根及此时θ的值.
[解] (1)由根与系数的关系可知
而+=+
=sin θ+cos θ=.
(2)由①两边平方,得1+2sin θcos θ=,将②代入,得m=.
(3)当m=时,原方程变为2x2-(1+)x+=0,解得x1=,x2=,
则或
∵θ∈(0,2π),∴θ=或θ=.
1.已知α,β∈,且sin=cos,cos=-cos(π+β),则α= ,β= .
[由已知可得
∴sin2α+3cos2α=2.
∴sin2α=,又α∈,
∴sin α=,α=.
将α=代入①中得sin β=,又β∈,
∴β=,
综上α=,β=.]
2.已知cos+sin=1.
求cos2+cos β-1的取值范围.
[解] 由已知得cos β=1-sin α.
∵-1≤cos β≤1,
∴-1≤1-sin α≤1,
又-1≤sin α≤1,
可得0≤sin α≤1,
∴cos2+cos β-1
=sin2α+1-sin α-1=sin2α-sin α
=2-.(*)
又0≤sin α≤1,
∴当sin α=时,(*)式取得最小值-,
当sin α=0或sin α=1时,(*)式取得最大值0,
故所求范围是.