2020届二轮复习数列不等式的证明方法教案（全国通用） 12页

‎【例1】用数归纳法证明:‎ ‎【点评】利用数归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.‎ ‎【反馈检测1】已知，（其中）‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）试比较与的大小，并说明理由．‎ 方法二 放缩法 解题步骤 一般放缩数列通项，或放缩求和的结果.‎ ‎【例2】已知函数 ‎（1）当时，求函数在上的极值；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）证明： .‎ ‎（2）令 ‎ ‎ 则 ‎ 上为增函数. ‎ ‎ ‎ ‎（3）由（2）知 ‎ 令得， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)‎ 放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的. *‎ ‎【反馈检测2】已知数列满足．‎ ‎（1）求及通项公式；（2）求证：．‎ ‎【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17， 记为数列，第一列数1，4，9，16，25， 记为数列 ‎（1）写出数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列，的前n项和分别为，用数归纳法证明：；‎ ‎（3）当时，证明：．‎ ‎【反馈检测4】已知函数 ‎（1）当时，比较与1的大小；‎ ‎（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：对于一切正整数，都有 ‎【反馈检测5】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性与极值点；‎ ‎（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；‎ ‎（3）证明：.‎ 方法三 分析法 解题步骤 从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.‎ ‎【例3】已知函数是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求实数、的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；‎ ‎（3）当时，证明：．‎ ‎ ‎ ‎（2）当时，设，‎ 则 ‎ 设，则，在上是增函数 因为，，‎ 所以，使 ‎ 时，，，即在上为减函数；‎ 同理在上为增函数 从而的最小值为 所以，的最大值为 ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.‎ ‎【反馈检测6】已知函数.‎ ‎（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；‎ ‎（2）求函数在上的最小值；‎ ‎（3）试证明：.‎ 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第41讲：‎ 数列不等式的证明方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1），；（2）当或时，,当时，．‎ ‎【反馈检测1详细解析】‎ ‎（1）取，则；取，则，‎ ‎．‎ ‎∵时，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 即时结论也成立，‎ ‎∴当时，成立. ‎ 综上得，当或时，；‎ 当时，．‎ ‎【反馈检测2答案】（1）， ；（2）见解析.‎ ‎【反馈检测3答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析. *‎ ‎【反馈检测3详细解析】‎ ‎（1）由，得：， ‎ ‎． ‎ ‎① 当时，，∴，又，∴时等式成立； ‎ ‎② 假设时等式成立，即，‎ 则时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴时等式也成立． ‎ 根据①②，都成立． ‎ ‎【反馈检测4答案】（1）或；（2）见解析.‎ ‎【反馈检测4解析】（1）当时，，其定义域为 因为，所以在上是增函数 故当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎（2）当时，，其定义域为 ‎，令得，‎ 因为当或时，；当时，‎ 所以函数在上递增，在上递减，在上递增 且的极大值为，极小值为 又当时，；当时，‎ 因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅 有一个交点.所以或 ‎（3）方法二：用数归纳法证明：①当时，不等式左边，右边 因为，所以，即时，不等式成立 ‎②假设当时，不等式成立，即 那么，当时，‎ 由（1）的结论知，当时，，即 所以 即 即当时，不等式也成立 综合①②知，对于一切正整数，都有 ‎【反馈检测5答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减.‎ 为极大值点，为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎（2）当时，令，‎ ‎，当时，，时，，‎ ‎∴在上递减，在上递增，∴，∴时，恒成立.‎ 即时，恒成立，∴当时，的图象恒在的图象上方.‎ ‎（3）由（2）知，即，∵，∴，‎ 令，则，∴‎ ‎∴‎ ‎∴不等式成立.‎ ‎【反馈检测6答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）；（3）见解析. *‎ ‎【反馈检测6详细解析】（1）函数的定义域为，当时，，则 ‎，‎ 解不等式，得；解不等式，得，‎ 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当，即当时，当，，当时，，‎ 此时函数在处取得极小值，亦即最小值，‎ 即，‎ 综上所述，；‎ 由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，‎ 即函数在区间上单调递增，故，‎ 故有，因此不等式在上恒成立，故原不等式得证，‎ 即对任意，.‎ ‎ ‎