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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期第一次段考数学(理)试题
一、单选题
1.过点(1,0)且与直线垂直的直线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设出直线方程,代入点求得直线方程.
【详解】
依题意设所求直线方程为,代入点得,故所求直线方程为,故选D.
【点睛】
本小题主要考查两条直线垂直的知识,考查直线方程的求法,属于基础题.
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为,上底为1,腰为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先计算出该梯形的斜二测直观图的面积,再根据直观图的面积与原图的面积之比为,求得原图的面积.
【详解】
依题意,四边形是一个底角为,上底为,腰为的等腰梯形
过,分别做,
则和为斜边长为的等腰直角三角形
,又,
梯形的面积:
在斜二测画直观图时,直观图的面积与原图的面积之比为:
即:
本题正确选项:
【点睛】
本题考查了斜二测直观图的面积与原图面积的关系,可以还原图形求原图的面积,也可以根据直观图与原图的面积比求原图的面积.属于基础题.
3.已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
【答案】B
【解析】把,用和公差2表示,根据,,成等比数列,得到
解得.
【详解】
解:因为等差数列的公差为2,若,,成等比数列,
即
解得
故选:
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算,与等比中项的性质,属于基础题.
4.已知,则以线段为直径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【详解】
解:由A(﹣4,﹣5)、B(6,﹣1),设圆心为C,
则圆心C的坐标为(,)即C(1,﹣3);
所以|AC|,则圆的半径r,
所以以线段AB为直径的圆的方程是(x﹣1)2+(y+3)2=29.
故选:C.
5.在空间中,有三条不重合的直线,,,两个不重合的平面,,下列判断正确的是
A.若∥,∥,则∥ B.若,,则∥
C.若,∥,则 D.若,,∥,则∥
【答案】C
【解析】根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质,逐项判定,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,A中,若∥,∥,则与可能平行、相交或异面,故A错误;
B中,若,,则与c可能平行,也可能垂直,比如墙角,故B错误;
C中,若,∥,则,正确;
D中,若,,∥,则与可能平行或异面,故D错误;
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明,其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系,以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于中档试题.
6.已知都是正数,且,则的最小值等于
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【详解】
,故选C.
7.在正方体中,若是的中点,则直线垂直于( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【答案】B
【解析】连结B1D1,由E为A1C1的中点,得到A1C1∩B1D1=E,由线面垂直的判定得到B1D1⊥面CC1E,从而得到直线CE垂直于直线B1D1.
【详解】
如图所示,直线CE垂直于直线B1D1,事实上,∵AC1为正方体,∴A1B1C1D1为正方形,连结B1D1,
又∵E为A1C1的中点,∴E∈B1D1,∴B1D1⊥C1E,CC1⊥面A1B1C1D1,∴CC1⊥B1D1,
又CC1∩C1E=C1,∴B1D1⊥面CC1E,而CE⊂面CC1E,∴直线CE垂直于直线B1D1,且B1D1BD.
所以直线垂直于直线.
故选:B.
【点睛】
本题考查了空间直线与直线的位置关系,考查了直线与平面垂直的性质,属于基础题.
8.已知是圆:上的动点,则点到直线:的距离的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离,再用此距离减去半径,即得所求.
【详解】
解:因为圆:的圆心到直线:的距离
,且圆的半径等于,
故圆上的点到直线的最小距离为
故选:
【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题,属于基础题.
9.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和6,高为2,则该刍童的表面积为( )
A. B.72 C. D.32
【答案】A
【解析】画出几何体的三视图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.
【详解】
三视图对应的几何体的直观图如图,梯形的高为:,
几何体的表面积为, .
故选:A.
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.
10.已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以,故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.
11.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为( )
A. B. C.3 D.2
【答案】A
【解析】由圆柱的侧面展开图是矩形,利用勾股定理求解.
【详解】
圆柱的侧面展开图如图,
圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,
则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段,
.
故选:A.
【点睛】
本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题,是基础题.
12.已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( )
A. B.[,]
C. D.)
【答案】D
【解析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为,则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径,据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】
圆C(2,0),半径r=,设P(x,y),
因为两切线,如下图,PA⊥PB,由切线性质定理,知:
PA⊥AC,PB⊥BC,PA=PB,所以,四边形PACB为正方形,所以,|PC|=2,
则:,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
直线过定点(0,-2),直线方程即,
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,
即:,解得:,
即实数的取值范围是).
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系,轨迹方程的求解与应用,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13.空间两点,间的距离为_____.
【答案】
【解析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案
【详解】
由空间中两点间的距离公式可得; ;
故距离为3
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离公式,属于基础题。
14.在中,角所对的边分别为,已知,则____.
【答案】3
【解析】由正弦定理和已知,可以求出角的大小,再结合已知,可以求出的值,根据余弦定理可以求出的值.
【详解】
解:由正弦定理及得,,,,又,,,由余弦定理得:
,即.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、考查了数学运算能力.
15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
【答案】①②④
【解析】试题分析:①取BD的中点O,连接OA,OC,所以,所以平面OAC,所以AC⊥BD;②设正方形的边长为a,则在直角三角形ACO中,可以求得OC=a,
所以△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成45角;④分别取BC,AC的中点为M,N,连接ME,NE,MN.则MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且ME=CD=a,∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.在Rt△AEC中,AE=CE=a,AC=a,∴NE=AC=a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.
【考点】本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题,考查学生的空间想象能力.
点评:解决此类折叠问题,关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.
16.已知球的直径,是该球球面上的两点,,,则棱锥的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示,由题意知,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥SABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和,所以棱锥S-ABC的体积V=SC·S△ADB=×4×=
三、解答题
17.据说伟大的阿基米德逝世后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)试计算出图案中球与圆柱的体积比;
(2)假设球半径.试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
【答案】(1);(2)圆锥体积,表面积
【解析】(1)由球的半径可知圆柱底面半径和高,代入球和圆柱的体积公式求得体积,作比得到结果;(2)由球的半径可得圆锥底面半径和高,从而可求解出圆锥母线长,代入圆锥体积和表面积公式可求得结果.
【详解】
(1)设球的半径为,则圆柱底面半径为,高为
球的体积;圆柱的体积
球与圆柱的体积比为:
(2)由题意可知:圆锥底面半径为,高为
圆锥的母线长:
圆锥体积:
圆锥表面积:
【点睛】
本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题,考查学生对于体积和表面积公式的掌握,属于基础题.
18.已知.
(1)求函数f(x)最小正周期及对称轴方程;
(2)已知锐角的内角所对的边分别为,且,,
求的最大值
【答案】(1),;(2)
【解析】(1)由诱导公式对函数解析式化解为 的形式,然后根据三角函数的性质求解周期、对称轴方程.
(2)由(1)中的解析式可求得 的值,再由余弦定理可得bc的最大值,即可得面积的最大值.
【详解】
(1)
,
(2)由得
由余弦定理得
故:三角形面积的最大值为
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式、三角函数性质、均值不等式及余弦定理的应用,属于中档题,解题的关键有两个:一是应用诱导公式对三角函数表达式化解;二是利用余弦定理构造不等式.
19.如图,已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆A相交于M,N两点,Q是的中点,直线与相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当时,求直线的方程.
【答案】(1) .(2) 或
【解析】(1)圆心到切线的距离等于圆的半径,从而易得圆标准方程;
(2)考虑直线斜率不存在时是否符合题意,在斜率存在时,设直线方程为,根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离,现由点(圆心)到直线的距离公式可求得.
【详解】
(1)由于圆A与直线相切,∴,
∴圆A的方程为.
(2)①当直线与x轴垂直时,易知与题意相符,使.
②当直线与x轴不垂直时,设直线的方程为即,连接,
则,∵,∴,由,得.
∴直线,故直线的方程为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,解题关键是垂径定理的应用,在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决.
20.等差数列前项和为,且,.
(1)求的通项公式;
(2)数列满足且,求的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)根据等差数列中,,列出关于首项、公差的方程组,解方程组可得与的值,从而可得数列的通项公式;(2)利用(1),由“累加法”可得,利用裂项相消法求和即可得结果.
【详解】
(1)等差数列的公差设为,前项和为,且,.
可得,,
解得,,
可得;
(2)由,
可得
,
,
则前项和
.
【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3)
;(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
21.如图,在四棱锥中,是正方形,平面.,,,分别是 ,,的中点.
(1)求证:平面平面.
(2)在线段上确定一点,使平面,并给出证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先通过得到线面平行即面,同理可证面,根据面面平行判定定理可得结果;(2)为线段中点时,平面,通过先证面,得到,根据等腰三角形的性质得,运用线面垂直的判定定理即可得到结论.
试题解析:()∵中,,分别是,的中点,∴,又∵四边形为正方形,得,∴,∵平面,面,∴面.同理面,∵,是面内相交直线,∴平面平面.为中点时,面.
(2)为线段中点时,平面,证明:取中点,连接,,,∵,且,∴四边形为梯形,由面,面,得,∵,,∴面,又面,∴.∵为等腰直角三角形,
为斜边中点,∴,∵,是面内的相交直线,∴面.
22.(本题满分12分)
如图所示的空间几何体,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。
(I)求证:DE//平面ABC;
(II)求二面角E—BC—A的余弦;
(III)求多面体ABCDE的体积。
【答案】略
【解析】