【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业 13页

‎ 2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业 ‎1、若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆，求矩阵的逆矩阵.‎ ‎2、已知矩阵．‎ ‎（1）求A的逆矩阵A-1；‎ ‎（2）求矩阵A的特征值、和对应的一个特征向量．‎ ‎3、已知曲线，将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程.‎ ‎4、已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，求实数的值.‎ ‎5、已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．‎ ‎6、已知矩阵的两个特征向量，，若，求.‎ ‎7、已知矩阵，向量，计算.‎ ‎8、已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．‎ ‎9、在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求的值.‎ ‎10、已知变换把平面上的点，分别变换成，，试求变换对应的矩阵．‎ ‎11、变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．‎ ‎（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P'，求P'的坐标；‎ ‎（2）求曲线y＝x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.‎ ‎12、在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．‎ ‎13、已知矩阵，求矩阵 ‎14、（本题12分）已知矩阵 ‎（1）求A的逆矩阵A-1 ；‎ ‎（2）求A的特征值及对应的特征向量。‎ ‎15、已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.‎ ‎16、已知矩阵的一个特征值为，求.‎ ‎17、已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M．‎ ‎18、设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程．‎ ‎19、已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．‎ ‎20、已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．‎ ‎（1）求矩阵M；‎ ‎（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程． ‎ 参考答案 ‎1、答案：‎ 试题分析：先根据矩阵运算得，再运用转移法求轨迹与重合得，最后根据逆矩阵公式求得 试题设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，‎ 则，所以 因为点在椭圆：上，所以，‎ 又圆方程为，故，即，‎ 又，，所以，．所以，‎ 所以．‎ 考点：逆矩阵 2、答案：（1）；（2）当时，得,当时，得.‎ 试题分析：（1）运用逆矩阵的求法公式求其逆矩阵；（2）先写出矩阵的特征多项式,求出其特征值,再求对应的特征向量.‎ 试题（1）,‎ ‎∴.‎ ‎（2）矩阵的特征多项式为，‎ 令，得,‎ 当时，得,当时，得 考点：①逆矩阵求法公式及运用；②矩阵的特征多项式及特征向量的求法. 3、答案：.‎ 试题分析：由题设条件，，设曲线上的任意一点曲线在变换矩阵曲线作用下为，确定坐标之间的关系，即可求得曲线方程.‎ 试题(1)由题设条件，,‎ ‎，即有，‎ 解得，代入曲线的方程为.‎ 所以将曲线绕坐标原点逆时旋转后，得到的曲线是.‎ 考点：旋转变换． 4、答案：－1.‎ 试题分析：由特征值与特征向量的定义得，，再矩阵运算可得结论．‎ 试题，，‎ 即有，且，从而.‎ 考点：特征值与特征向量． 5、答案：．‎ 试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．‎ 试题解：由题意：，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，∴‎ 考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法． 6、答案：‎ 试题分析：利用特征值与特征向量的关系，求出特征向量对应的特征值：由可解得：，再将用特征向量线性表示，最后根据特征值性质求 试题解：设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由可解得：，‎ 又，‎ 所以.‎ 考点：向量特征值及特征向量 7、答案：‎ 试题分析：先求出矩阵的特征值及对应特征向量，再将用特征向量线性表示，最后根据特征值及特征向量性质化简 试题解：因为，由，得或．‎ 当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．‎ 设，解得 所以．‎ 考点：矩阵的特征值及对应特征向量 8、答案：x2＋y2＝2‎ 试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x＝y′，y＝，再代入已知曲线C方程，得x2＋y2＝2.‎ 试题解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．‎ 则，即x＋2y＝x′，x＝y′，‎ 所以x＝y′，y＝．‎ 代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2，‎ 所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2.‎ 考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程 9、答案：‎ 试题分析：先根据矩阵运算求轨迹：由，得，再根据两直线重合得，得 试题解:设是直线上一点，由，得 即，由条件得，‎ 解得，所以 考点：矩阵运算 10、答案：‎ 试题分析：求矩阵，一般利用待定系数法，根据点的对应关系可列四个方程，解方程组即可，设，由题意，得，得 试题解：设，由题意，得，‎ ‎∴‎ 解得.‎ 即．‎ 考点：矩阵运算 11、答案：（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y2.‎ 试题分析：（1）先写出旋转矩阵M1＝，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M＝M2M1＝，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y－x＝y2.‎ 试题解：(1)M1＝，‎ M1＝．所以点P(2,1)在T1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2).‎ ‎(2)M＝M2M1＝，‎ 设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,‎ 则M＝,也就是即 所以,所求曲线的方程是y－x＝y2.‎ 考点：旋转矩阵，矩阵变换 12、答案：‎ 试题分析：先根据矩阵运算确定，再利用向量旋转变换确定：‎ ‎.因为，所以 试题解：设，‎ 依题意，由，得 则．‎ 记旋转矩阵，‎ 则，即，解得，‎ 所以点的坐标为 考点：矩阵运算，旋转矩阵 13、答案：‎ 试题分析：由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得 试题解：，‎ 考点：逆矩阵 14、答案：（1）；‎ ‎（2）或；当时，特征向量当时，特征向量 解：（1）∵ ∴A可逆 1分 ‎∴ 3分 ‎（2）A的特征多项式 4分 由，得或； 5分 当时，由得特征向量 当时，由得特征向量 7分 ‎15、答案：‎ 试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点，则有，因为所以与重合，因此．‎ 试题解：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点．‎ 由,得 又点在上,所以,即 依题意,解得，‎ 考点：矩阵变换 16、答案：‎ 试题分析：由矩阵特征多项式得一个解为，因此 ‎，再根据矩阵运算得 试题解：代入，得 矩阵 ‎∴‎ 考点：特征多项式 17、答案：‎ 试题分析：列方程组，解得 试题解：设,则,故 ‎,故 联立以上两方程组解得,故=．‎ 考点：矩阵特征值及特征向量 18、答案：‎ 试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵，由矩阵有一个特征值为2，得矩阵的特征多项式有一个解2，所以．再设曲线在矩阵变换下点变换为点，由得，代入得 试题由题意，矩阵的特征多项式，‎ 因矩阵有一个特征值为2，，所以．‎ 所以，即，‎ 代入方程，得，即曲线的方程为．10分 考点：矩阵特征值 19、答案：属于特征值的一个特征向量属于特征值的一个特征向量 试题分析：由特征多项式为=0解得两个特征值，．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值的一个特征向量，属于特征值的一个特征向量．‎ 试题矩阵的特征多项式为，‎ 由，解得，．‎ 当时，特征方程组为 故属于特征值的一个特征向量；‎ 当时，特征方程组为 故属于特征值的一个特征向量．‎ 考点：特征值及特征向量 ‎ ‎20、答案：（1）（2）x2＋y2＝2.‎ 试题分析：（1）由特征值与对应特征向量关系得：＝，即2＋3b＝8,2c＋6＝12，b＝2，c＝3，所以M＝．（2）由转移法求轨迹得，先设曲线上任一点P（x，y）在M作用下对应点P′（x′，y′），则 ‎＝，解之得代入5x2＋8xy＋4y2＝1得x′2＋y′2＝2，即曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程是x2＋y2＝2.‎ 试题解：‎ ‎（1）由已知＝，即2＋3b＝8,2c＋6＝12，b＝2，c＝3，‎ 所以M＝．‎ ‎（2）设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点P′（x′，y′），则＝，‎ 解之得代入5x2＋8xy＋4y2＝1得x′2＋y′2＝2，‎ 即曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程是x2＋y2＝2.‎ 考点：特征值，特征向量，矩阵变换 ‎