【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(1) 4页

‎(七十三)‎ ‎1．(2019·陕西咸阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M(m，0)，使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)存在m∈(0，)　理由略 解析　(1)由e＝，得a＝2c.由|AF1|＝2，得|AF2|＝2a－2.‎ 由余弦定理得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2＝|F1F2|2，即a2－3a＋3＝c2，解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)存在这样的点M符合题意．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)．‎ 由F2(1，0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 得x1＋x2＝，故x0＝＝.‎ 又点N在直线PQ上，所以y0＝，所以N(，)．‎ 因为MN⊥PQ，所以kMN＝＝－，整理得m＝＝∈(0，)．‎ 所以在线段OF2上存在点M(m，0)，使得MN⊥PQ，m的取值范围为(0，)．‎ ‎2．(2019·甘肃兰州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过圆E：x2＋y2＝2上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)过定点(0，0)‎ 解析　(1)因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c，S＝·2c·b＝a2＝3，所以a＝，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)圆E的方程为x2＋y2＝2，设O为坐标原点，‎ 当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x＝，‎ 则A(，)，B(，－)，所以∠AOB＝，所以以AB为直径的圆过坐标原点．‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线与圆E相切，所以d＝＝＝，所以m2＝2＋2k2.联立方程组得x2＋2(kx＋m)2＝6，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝8(6k2－m2＋3)＝8(4k2＋1)>0，由根与系数的关系得 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝－＋m2＝＝0，‎ 所以⊥，所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O.‎ ‎3．(2019·安徽六安二模)设点P是圆x2＋y2＝4上的任意一点，点D是点P在x轴上的投影，动点M满足 ＝2，过定点Q(0，2)的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点．‎ ‎(1)求动点M的轨迹方程；‎ ‎(2)在y轴上是否存在点E(0，t)，使|EA|＝|EB|？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)存在，t∈(－，0]‎ 解析　(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xp，yp)，则点D的坐标为(xp，0)，由 ＝2，得 ‎∵点P在圆上，∴x2＋(y)2＝4，即＋＝1，‎ ‎∴点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，当E与原点重合，即t＝0时，满足|EA|＝|EB|.‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入＋＝1，消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，则由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，得|k|>.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵|EA|＝|EB|，∴(＋)·＝0.‎ 又＋＝(x1＋x2，k(x1＋x2)＋4－2t)，＝(x2－x1，k(x2－x1))，‎ ‎∴(x2－x1，k(x2－x1))·(x1＋x2，k(x1＋x2)＋4－2t)＝0，展开化简，‎ 得(1＋k2)·(x1＋x2)＋4k－2kt＝0，‎ 将x1＋x2＝－代入化简，得t＝－，‎ 又|k|>，∴t＝－∈(－，0)．‎ 综上，存在符合题意的点E，且实数t的取值范围为(－，0]．‎ ‎4．(2019·吉林一中二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线x－y＋4＝0相切．‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得＋为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 答案　(1)y2＝8x　(2)存在M(4，0)‎ 解析　(1)联立方程，有消去x，得y2－2py＋8p＝0，由直线与抛物线相切，得Δ＝8p2－32p＝0，解得p＝4.‎ 所以抛物线的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点M(m，0)(m>0)．‎ 直线l：x＝ty＋m，由得y2－8ty－8m＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m.‎ ‎|AM|2＝(x1－m)2＋y12＝(t2＋1)y12，‎ ‎|BM|2＝(x2－m)2＋y22＝(t2＋1)y22.‎ ＋＝＋＝·＝·，‎ 当m＝4时，＋为定值，所以M(4，0)．‎ ‎5．(2019·福建漳州八校联考)已知抛物线D的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．‎ ‎(1)求抛物线D的方程；‎ ‎(2)已知动直线l过点P(4，0)，交抛物线D于A，B两点，坐标原点O为PQ的中点，求证：∠AQP＝∠BQP；‎ ‎(3)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出直线m的方程；如果不存在，请说明理由．‎ 答案　(1)y2＝4x　(2)略　(3)直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2，存在直线m：x＝3.‎ 解析　(1)抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.‎ ‎∴抛物线D的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由于O为PQ的中点，则Q点坐标为(－4，0)．‎ 当l垂直于x轴时，由抛物线的对称性知∠AQP＝∠BQP.‎ 当l不垂直于x轴时，设l：y＝k(x－4)，由得k2x2－4(2k2＋1)x＋16k2＝0，‎ ‎∴ ‎∵kAQ＝＝，kBQ＝＝，‎ ‎∴kAQ＋kBQ＝＝＝0，∴∠AQP＝∠BQP.‎ ‎(3)假设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心M(，)，过M作直线x＝a的垂线，垂足为E.‎ 设直线m与圆的一个交点为G，则|EG|2＝|MG|2－|ME|2，即 ‎|EG|2＝|MG|2－|ME|2＝－(－a)2＝y12＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2，当a＝3时，|EG|2＝3，‎ 此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2.‎ 因此存在直线m：x＝3满足题意．‎