2019届二轮复习满分示范课——数列学案（全国通用） 3页

满分示范课——数列 ‎【典例】　(满分12分)(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(∈N )，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式．‎ ‎(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N )．‎ ‎[规范解答](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.‎ 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，‎ 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.2分 又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.3分 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①‎ 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②‎ 联立①②，解得a1＝1，d＝3，‎ 由此可得an＝3n－2.5分 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，‎ 数列{bn}的通项公式为bn＝2n.6分 ‎(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有a2nbn＝(6n－2)·2n，学 ]‎ Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，‎ ‎2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，9分 学 ]‎ 上述两式相减，得 学 ‎ ‎－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1，‎ ‎＝－4－(6n－2)×2n＋1‎ ‎＝－(3n－4)2n＋2－16.11分 所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.‎ 所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.12分 高考状元满分心得 学+ + ]‎ ‎(1)牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择．如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式．‎ ‎(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nbn}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前n项和．‎ ‎[解题程序]　第一步：利用基本量法求{bn}的通项；‎ 第二步：由b3＝a4－2a1，S11＝11b4构建关于a1与d方程，求an；‎ 第三步：由第(1)问结论，表示出{a2nbn}的通项；‎ 第四步：利用错位相减法求数列前n项和Tn；‎ 第五步：反思检验，规范解题步骤． 学+ + ]‎ ‎[跟踪训练]　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋2＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由条件可得an＋1＝an，‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，又a1＝1，‎ 所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以an＝n·2n－1.‎