【数学】2020届一轮复习人教B版直线和圆的极坐标方程作业 4页

2020 届一轮复习人教 B 版 直线和圆的极坐标方程 作业 1.求：(1)过 A 2，π 4 且平行于极轴的直线；(2)过 A 3，π 3 且和极轴成3π 4 的直 线． 【自主解答】 (1)如图 1 所示，在所求直线上任意取点 M(ρ，θ)，过 M 作 MH⊥Ox 于 H，连 OM. ∵A 2，π 4 ，∴MH＝2·sinπ 4 ＝ 2，在 Rt△OMH 中，MH＝OMsin θ，即ρsin θ ＝ 2，所以，过 A 2，π 4 平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2. 图 1 图 2 (2)如图 2 所示，在所求直线上任取一点 M(ρ，θ)， ∵A 3，π 3 ，∴OA＝3，∠AOB＝π 3 ，由已知∠ABx＝3π 4 ，所以∠OAB＝3π 4 －π 3 ＝5π 12 ， ∴∠OAM＝π－5π 12 ＝7π 12. 又∠OMA＝∠MBx－θ＝3π 4 －θ，在△MOA 中，根据正弦定理得 3 sin 3π 4 －θ ＝ ρ sin7π 12 . ∵sin7π 12 ＝sin π 4 ＋π 3 ＝ 2＋ 6 4 . 将 sin 3π 4 －θ 展开，化简上面的方程，可得 ρ(cos θ＋sin θ)＝3 3 2 ＋3 2. 所以，过 A 3，π 3 且和极轴成3π 4 的直线方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝3 3 2 ＋3 2. 2．设 P 2，π 4 ，直线 l 过 P 点且倾斜角为3π 4 ，求直线 l 的极坐标方程． 【导学号：98990012】 【解】 如图所示，设 M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线 l 上除 P 点外的任意一点，极 点为 O，连接 OM，OP，该直线交 Ox 于点 A， 则有 OM＝ρ，OP＝2， ∠MOP＝|θ－π 4|，∠OPM＝π 2 ， 所以 OMcos∠MOP＝OP， 即ρcos|θ－π 4|＝2，即ρcos(θ－π 4)＝2，显然点 P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为ρcos(θ－π 4)＝2. 3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？ 【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1 或θ＝π.其中ρ＝1 表示以极点为 圆心，半径为 1 的圆，θ＝π表示以极点为起点与 Ox 反向的射线． 4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标． 【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与ρ(sin θ－cos θ)＝1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π 2)． 5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π 6(ρ∈R)的距离． 【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为： x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π 6 转化为平面直角坐标系 中的方程为 y＝ 3 3 x，即 3x－3y＝0. ∴圆心(0,2)到直线 3x－3y＝0 的距离为|0－3×2| 3＋9 ＝ 3. 6．已知 A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点 A 到直线ρcos θ＝1 距离的最大 值和最小值分别为多少？ 【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程： x2＋y2＝3x， 即 x－3 2 2＋y2＝9 4. ρcos θ＝1 即 x＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为 2，最小值为 0. 图 423 7．如图 423，点 A 在直线 x＝5 上移动，等腰三角形 OPA 的顶角∠OPA＝ 120°(O、P、A 按顺时针方向排列)，求点 P 的轨迹方程． 【解】 取 O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线 x＝ 5 的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设 P、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝ 3ρ，θ0＝θ－30°. 代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得 3ρcos(θ－30°)＝5，即为点 P 的轨迹 方程． 8．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C 3，π 6 ，半径 r＝3. (1)写出圆 C 的极坐标方程； (2)若点 Q 在圆 C 上运动，点 P 在 OQ 的延长线上，且 OQ∶QP＝3∶2，求 动点 P 的轨迹方程． 【导学号：98990014】 【解】 (1)圆 C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ－π 6 . (2)设 P 的坐标为(ρ，θ)，因为 P 在 OQ 的延长线上，且 OQ∶QP＝3∶2，所 以点 Q 的坐标为 3 5ρ，θ ，因为点 Q 在圆 C 上运动，所以3 5ρ＝6cos θ－π 6 ，即ρ＝ 10cos θ－π 6 ，故点 P 的轨迹方程为ρ＝10cos θ－π 6 . 9．已知圆 M 的极坐标方程为ρ2－4 2ρcos θ－π 4 ＋6＝0，求ρ的最大值． 【解】 原方程化为ρ2－4 2ρ( 2 2 cos θ＋ 2 2 sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为 x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 圆心 M(2,2)，半径为 2， ∴ρmax＝OM＋ 2＝2 2＋ 2＝3 2. [能力提升] 10．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2，π 4 ，圆心为直线ρsin θ－π 3 ＝－ 3 2 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程． 【解】 在ρsin(θ－π 3)＝－ 3 2 中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C 经过点 P( 2，π 4)， 所以圆 C 的半径 PC＝  22＋12－2×1× 2cos π 4 ＝1， 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.