【数学】2020届一轮复习人教版（理）第12章第2讲参数方程作业 5页

A组　基础关 ‎1．(2019·四川达州模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ(a≠0)．‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎(2)设直线l截圆C的弦长为半径长的倍，求a的值．‎ 解　(1)圆C的直角坐标方程为x2＋2＝.‎ 直线l的普通方程为4x＋3y－8＝0.‎ ‎(2)圆C：x2＋2＝a2，直线l：4x＋3y－8＝0，‎ ‎∵直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，‎ ‎∴圆心C到直线l的距离d＝＝×，‎ 解得a＝32或a＝.‎ ‎2．(2018·芜湖模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0.‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点(P在A，B之间)，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ 解　(1)将C1的参数方程消参得普通方程为x＋y－a－1＝0，‎ C2的极坐标方程为ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋2ρcosθ－ρ2＝0即y2＝2x.‎ ‎(2)将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2＝2x得t2＋2t＋1－2a＝0，‎ 设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|＝2|t2|，‎ 且P在A，B之间，则t1＝－2t2，由 解得a＝.‎ ‎3．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1‎ 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．‎ 解　(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cosθ，sinθ)，‎ 则l＝8cosθ＋4sinθ＝4sin(θ＋φ)，所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4，此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，‎ 所以2cosθ＝2sinφ＝，sinθ＝cosφ＝，‎ 此时A.‎ 所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.‎ ‎4．已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(1)求圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 解　(1)∵ρ＝4cos＝2cosθ－2sinθ，‎ ‎∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－)2＋(y＋)2＝4.‎ ‎∴圆心C的直角坐标为(，－)．‎ ‎(2)由直线l上的点向圆C引切线，则切线长为 ＝ ‎＝，又≥4，‎ ‎∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4.‎ B组　能力关 ‎1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ‎(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρsin2θ＝cosθ，将曲线C上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，然后再向右平移一个单位得到曲线C2，又已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点．‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设定点P(2,0)，求＋的值．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝x，将曲线C上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到曲线y2＝2x，然后再向右平移一个单位得到曲线C2：y2＝2(x－1)．‎ ‎(2)将曲线C1的参数方程(t是参数)代入曲线C2的方程得t2＋2t－4＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，‎ ＋＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为 .‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 (t是参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)当m＝－1，α＝30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直线l的倾斜角．‎ 解　(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，‎ 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 所以曲线C是以点M(2,0)为圆心，2为半径的圆．‎ 由直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ 由圆心M到直线l的距离d＝＝<2，‎ 可知直线l与曲线C相交．‎ ‎(2)由题意可得直线l是经过点P(1,0)，倾斜角为α的直线，‎ 将代入(x－2)2＋y2＝4，‎ 整理得t2－2tcosα－3＝0，Δ＝(－2cosα)2＋12>0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2异号，‎ 则||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝1，‎ 所以cosα＝±.‎ 又α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ 为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.‎ l与⊙O交于两点当且仅当<1，‎ 解得k<－1或k>1，‎ 即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为.‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎