【数学】2021届一轮复习人教A版利用导数研究函数的极值最值作业 4页

第12节 利用导数研究函数的极值、最值 ‎1．(2019·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 )‎ A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得 f′(x)＝(x＋1)ex，‎ 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，‎ 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数，令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．]‎ ‎2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　 B．1‎ C．0 D．不存在 解析：A　[f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得00恒成立．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．‎ 所以f(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.]‎ ‎5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．‎ 解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，‎ ⇒ 所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.‎ 所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.‎ 答案：4‎ ‎6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．‎ 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－20，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ 所以x＝1是f(x)的极大值点．‎ ‎②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.‎ 因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.‎ 答案：a>－1 ‎ ‎9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，‎ 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.‎ x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a 处取得极小值，‎ 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎10．(2019·银川市模拟)已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．‎ ‎(1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；‎ ‎(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．‎ 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a－＝‎ .‎ 当a≤0时，f′(x)≤0在 (0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．‎ 当a＞0时，由f′(x)＞0得x>，‎ 所以，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x＝处有极小值．‎ 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；‎ 当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．‎ ‎(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，‎ f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.‎ 因此f(x)≥bx－2，即1＋－≥b，‎ 令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，‎ 由g′(x)≥0得x≥e2，‎ 则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，‎ g(x)min＝g(e2)＝1－，故实数b的最大值是1－.‎