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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解出集合,再由并集的定义写出即可。
【详解】
由,
则.故选D.
【点睛】
本题主要考查集合的并集,正确求解一元二次不等式,是首要条件。属于基础题
2.已知函数,则的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:求出函数的定义域,然后求解对应的函数值即可.函数,所以;对应的函数值分别为:;所以函数的值域为:故答案为B.
【考点】函数值域
3.若向量=(1,2),=(3,4),则=
A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)
【答案】A
【解析】.
4.已知,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分子分母同时除以,利用同角三角函数的商关系化简求值即可.
【详解】
因为,所以,于是有
,故本题选C.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的商关系,考查了数学运算能力.
5.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的一个对称中心可以为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】通过平移得到,即可求得函数的对称中心的坐标,得到答案.
【详解】
向左平移个单位长度后得到的图像,则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中根据三角函数的图象变换,以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
6.设,向量,若,则等于( )
A. B. C.-4 D.4
【答案】D
【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.
【详解】
因为,且,
所以,
化为,解得,故选D.
【点睛】
利用向量的位置关系求参数是命题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.
7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【详解】
将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x-),再向左平移个单位得到的解析式为y=sin((x+)-)= y=sin(x-),故选C
8.函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由>0得:x∈(−∞,−2)∪(4,+∞),
令t=,则y=lnt,
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数;
x∈(4,+∞)时,t=为增函数;
y=lnt为增函数,
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞),
故选:D.
点睛:形如的函数为,的复合函数,为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增,外层函数单增时,函数也单增;
当内层函数单增,外层函数单减时,函数也单减;
当内层函数单减,外层函数单增时,函数也单减;
当内层函数单减,外层函数单减时,函数也单增.
简称为“同增异减”.
9.函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.
详解:令,
因为,所以为奇函数,排除选项A,B;
因为时,,所以排除选项C,选D.
点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.
10.如果角满足,那么的值是( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【答案】D
【解析】试题分析:,,.
.故D正确.
【考点】同角三角函数基本关系式.
11.对于幂函数f(x)=,若0<x1<x2,则,的大小关系是( )
A.> B.<
C.= D.无法确定
【答案】A
【解析】本题考查幂函数图象及性质。该函数在第一象限单调递减,又是偶函数,可画出其大致图象。利用数形结合易得答案为 A.
12.已知偶函数 在区间上单调递增,则满足的取值范围是( )
A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(﹣1,1)
【答案】B
【解析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,
【详解】
首先函数定义域是R,再者根据和偶函数 在区间上单调递增,可得,解得,故选B.
【点睛】
本题是基础题,考查偶函数的性质.
二、填空题
13.方程有四个互不相等的实数根,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】原问题等价于与函数与函数有四个不同的交点,
绘制函数的图象如图所示:
观察可得,实数的取值范围为.
点睛:函数零点的求解与判断:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
14.平面内有三个点,,,若,则x的值为________.
【答案】1
【解析】利用平面向量共线的坐标表示直接计算即可.
【详解】
由题意得,,因为,∴,解得.
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查已知平面向量共线求参数的值的问题,属基础题.
15.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是____ __.
【答案】y=sin
【解析】∵向右平移个单位,∴用x-代替y=sinx中的x;
∵各点横坐标伸长到原来的2倍,∴用x代替y=sin中的x,∴y=sin
16.若不等式恒成立,则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】由不等式恒成立,结合二次函数的性质,可得,即可求解m的范围,得到答案.
【详解】
由题意,不等式恒成立,
可得,即,解得,
∴m的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题,其中解答中熟练应用一元二次函数的性质,列出不等式是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
三、解答题
17.已知向量,,.
(1)求;
(2)求满足的实数m,n;
(3)若,求实数k.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标;
(2)把的坐标求出,再利用向量相等,即可求出实数,.
(3)分别写出与的坐标,再利用向量平行的条件即可求得实数k.
【详解】
(1)
(2)∵,
∴.
∴ 解得
(3)∵.
∴,
∴.
【点睛】
本题主要考查的是向量的坐标运算,以及向量相等、向量平行的应用,是基础题.
18.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:⊥;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
【答案】(1)证明:可得,,,
∴; (5分)
(2); (10分)
该矩形对角线所夹的锐角的余弦值. (14分)
【解析】试题分析:(1)因为已知A(2,1),B(3,2),D(-1,4),可结合问题,联系向量的坐标及垂直的性质,进行证明。
(2)由题先设出C(x, y),再借助=
,建立方程可得C点坐标.由点的坐标,分别表示出所需的向量:=(-2,4),=(-4,2)借助向量的乘法定义,可求出COSθ.
试题解析:(1)、
, ⊥
(2)、设C(x,y),="(x+1,y-4)" ,由=,得x="0,y=5"C(0,5)
设矩形ABCD两对角线AC,BD所夹锐角为θ
=(-2,4),=(-4,2)=2 =2
COSθ==
【考点】1.向量坐标及垂直的性质;2.向量相等及方程思想和向量的乘法;
19.函数的部分图象如图所示.
(1)写出的最小正周期及图中、的值;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),,;(2)最大值0,最小值.
【解析】【详解】试题分析:(1)由图可得出该三角函数的周期,从而求出;(2)把看作一个整体,从而求出最大值与最小值.
(1)由题意知:的最小正周期为,令y=3,则,解得,所以,.
(2)因为,所以,于是
当,即时,取得最大值0;
当,即时,取得最小值.
【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质,求三角函数的最值等基础知识,考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想,考查同学们分析问题与解决问题的能力.
20.设为奇函数,为常数.
(1)求的值;
(2)判断函数在上的单调性,并说明理由.
【答案】(1)(2)f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数.
【解析】试题分析:(1)由于已知函数是奇函数,根据奇函数的定义可得,结合对数的运算性质解方程可得的值;(2)由(1)得函数的解析式,设且,根据对数的性质,判断与的关系,进而根据单调性的定义,可得答案.
试题解析:(1)∵为奇函数,∴对定义域内的任意都成立,∴,∴,解得或(舍去)
(2)由(1)知:∵,设,
设,则,
∴,
∴,∴,
∴在上是增函数
21.已知函数.
(1)化简;
(2)若,且,求的值;
(3)若,求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:
(1)利用诱导公式可化简;
(2)代入已知,从而得,结合平方关系可求得值;
(3)同样由诱导公式化已知为,代入平方关系可求得,也即得的值.
试题解析:
(1).
(2) ,因为,所以,可得,结合,,所以.
(3)由(2)得即为,联立,解得,所以.
点睛:诱导公式:公式一:,公式二:,公式三:,公式四:,公式五:,公式六:,这六公式可统一写成:,,可归纳为:奇变偶不变,符号看象限.
22.已知二次函数满足,且,.
(1)求的解析式;
(2)是否存在实数,使得在上的图象恒在曲线的上方?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)利用待定系数法,设,根据题意列出相应的方程,即可求解;
(2)设,函数的图象恒在曲线的上方等价于恒成立,分离参数恒成立,利用二次函数的性质,即可求解.
【详解】
(1)设,
因为二次函数满足,所以的图象关于直线对称,
即①
因为,,所以 ②
,③
联立①②③,解得,,.
故.
(2)设,
的图象恒在曲线的上方等价于恒成立,
即恒成立,
因为在上单调递减,在上单调递增,
所以在上单调递减,
则.
故的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答根据题意转化为恒成立,利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于基础题.