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- 2021-06-16 发布
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1 1
1
1
A
B
C
D
D C
B
A
空间位置关系与证明
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.(浙江)若 P 是两条异面直线lm, 外的任意一点,则(B )
A.过点 P 有且仅有一条直线与lm, 都平行
B.过点 有且仅有一条直线与 都垂直
C.过点 有且仅有一条直线与 都相交
D.过点 有且仅有一条直线与 都异面
2.(06 湖南)如图,过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中
点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( D )
A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条
3.(湖北)平面 外有两条直线 m 和 n ,如果 和 在平面 内的射影分别是 m 和 n ,给出下列四个命题:
① m n m n ;
② m n m n ;
③ 与 相交 与 相交或重合;
④ 与 平行 与 平行或重合.
其中不正确的命题个数是( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(湖北)关于直线 m 、 n 与平面 、 ,有下列四个命题:(D )
① //,// nm 且 // ,则 nm// ; ② nm , 且 ,则 nm ;
③ //,nm 且 // ,则 nm ; ④ nm ,// 且 ,则 nm// .
其中真命题的序号是:
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
5.在正方形 '''' DCBAABCD 中,过对角线 'BD 的一个平面交 'AA 于 E,交 'CC 于 F,则( )
四边形 EBFD ' 一定是平行四边形
四边形 有可能是正方形
四边形 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形
四边形 EBFD ' 有可能垂直于平面 DBB '
以上结论正确的为 ①③④ 。(写出所有正确结论的编号)
6.(上海)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知, 是两个相交平面,空间两条直线 12ll,
在 上的射影是直线 12ss, , 12ll, 在 上的射影是直线 12tt, .用 1s 与 2s , 1t 与 2t 的位置关系,写出一个总能确定 1l 与
2l 是异
面直线的充分条件: 21// ss ,并且 1t 与 2t 相交( //1t 2t ,并且 1s 与 2s 相交)
★★高考要考什么
线与线的位置关系:平行、相交、异面;
线与面的位置关系:平行、相交、线在面内;
面与面的位置关系:平行、相交;
二.转化思想:
线线平行 线面平行 面面平行,线 线 线 面 面 面 ;
★★★高考将考什么
【 范 例 1 】 如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中, PA 底面 ABCD,
60AB AD AC CD ABC , , °, PA AB BC, E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)证明CD AE ;
(Ⅱ)证明 PD 平面 ABE ;
(Ⅲ)求二面角 A PD C的大小.
(Ⅰ)证明:在四棱锥 P ABCD 中,
因 PA 底面 ABCD,CD 平面 ,故 PA CD .
AC CD PA AC A,∵ , CD ∴ 平面 PAC .
而 AE 平面 PAC , CD AE∴ .
(Ⅱ)证明:由 PA AB BC, 60ABC°,可得 AC PA .
E∵ 是 PC 的中点, AE PC∴ .
由(Ⅰ)知, AE CD ,且 PC CD C ,所以 AE 平面 PCD.
A
B
C
D
P
E
而 PD 平面 PCD, AE PD∴ .
PA ∵ 底面 ABCD PD, 在底面 ABCD内的射影是 AD , AB AD , AB PD∴ .
又 AB AE A∵ ,综上得 PD 平面 ABE .
(Ⅲ)解法一:过点 A 作 AM PD ,垂足为 M ,连结 EM .则(Ⅱ)知, AE 平面 PCD, AM 在平面 PCD内
的射影是 EM ,则 EM PD .
因此 AME 是二面角 A PD C的平面角.
由已知,得 30CAD°.设 AC a ,
可得
2 3 21 2
3 3 2PA a AD a PD a AE a , , ,
.
在 ADPRt△ 中, AM PD∵ , AM PD PA AD∴ · · ,
则
23
273
721
3
aaPA ADAM aPD a
··
.
在 AEMRt△ 中,
14sin 4
AEAME AM
.
解法二:由题设 PA 底面 ABCD, PA 平面 PAD ,则平面 PAD 平面 ACD ,交线为 AD .
过点C 作CF AD ,垂足为 F ,故 CF 平面 PAD .过点 F 作 FM PD ,垂足为 M ,连结CM ,故 CM PD .因
此 CMP 是二面角 A PD C的平面角.
由已知,可得 30CAD°,设 AC a ,
可得
2 3 21 1 3
3 3 2 6PA a AD a PD a CF a FD a , , , ,
.
FMD PAD∵△ ∽△ ,
FM FD
PA PD∴
.
于是,
3
76
1421
3
aaFD PAFM aPD a
··
.
A
B
C
D
P
E
M
F
M
在 CMFRt△ 中,
1
2tan 7
7
14
aCFCMF FM a
.
所以二面角 A PD C的大小是arctan 7 .
所以二面角 A PD C的大小是
14arcsin 4 .
变式:如图,在五面体 ABCDEF 中,点O 是矩形 ABCD的对 角线的交点,
面CDE 是等边三角形,棱
// 1
2EF BC .
(1)证明 FO //平面 ;
(2)设 3BC CD ,证明 EO 平面CDF .
证明:( Ⅰ)取 CD 中点 M,连结 OM.
在矩形 ABCD 中,
1// 2OM BC
,又
1// 2EF BC
,则 //OMEF ,
连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. //FO EM
又 FO 平面 CDE, EM 平面 CDE, ∴ FO∥平面 CDE
(Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△ CDE 中,
,CM DM EM CD且
31
22EM CD BC EF
.
因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M,
∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO. 而 FM CD M,所以 EO⊥平面 CDF.
【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平
行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。
【范例 2】如图,在六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方
形,四边形 1 1 1 1A B C D 是边长为 1 的正方形, 1DD 平面
1 1 1 1A B C D , 1DD 平面 ABCD , 1 2DD .
(Ⅰ)求证: 11AC 与 AC 共面, 11BD与 BD 共面.
A B
C D
1A 1B
1C 1D
M
(Ⅱ)求证:平面 11A ACC 平面 11B BDD ;
(Ⅲ)求二面角 1A BB C的大小(用反三角函数值表示).
证明:以 D 为原点,以 1DA DC DD, , 所在直线分别为 x 轴,
y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D xyz 如图,
则有
1
1 1 1
(2 0 0) (2 2 0) (0 2 0) (10 2)
(11 2) (01 2) (0 0 2)
A B C A
B C D
,,, ,,, ,,, ,,,
,,, ,,, ,, .
(Ⅰ)证明:
1 1 1 1( 110) ( 2 2 0) (110) (2 2 0)AC AC D B DB ,,, ,,, ,,, ,,∵ .
1 1 1 122AC AC DB D B,∴ .
AC∴ 与 11AC 平行, DB 与 11DB 平行,
于是 11AC 与 AC 共面, 11BD与 BD 共面.
(Ⅱ)证明: 1 (0 0 2) ( 2 2 0) 0DD AC ,, ,,· · ,
(2 2 0) ( 2 2 0) 0DB AC ,, ,,· · ,
1DD AC∴ , DB AC .
1DD 与 DB 是平面 11B BDD 内的两条相交直线.
AC ∴ 平面 11B BDD .
又平面 11A ACC 过 AC .
∴平面 11A ACC 平面 11B BDD .
(Ⅲ)解: 1 1 1( 10 2) ( 1 1 2) (0 1 2)AA BB CC ,,, , ,, , , .
设 1 1 1()x y z , ,n 为平面 11A ABB 的法向量,
1 1 120AA x z n· , 1 1 1 120BB x y z n· .
于是 1 0y ,取 1 1z ,则 1 2x , (2 01) ,,n .
设 2 2 2()x y z , ,m 为平面 11B BCC 的法向量,
1 2 2 220BB x y z m· , 1 2 220CC y z m· .
A B
C D
1A
1B
1C
1D
x
y
z
于是 2 0x ,取 2 1z ,则 2 2y , (0 21) ,,m .
1cos 5, mnmn mn
·
.
∴二面角 1A BB C的大小为
1π arccos 5
.
解法 2(综合法):
(Ⅰ)证明: 1DD∵ 平面 1 1 1 1A B C D , 1DD 平面 ABCD.
1D D DA∴ , 1D D DC ,平面 1 1 1 1A B C D ∥平面 ABCD.
于是 11C D CD∥ , 11D A DA∥ .
设 EF, 分别为 DA DC, 的中点,连结 11EF A E C F, , ,
有 1 1 1 1 11A E D D C F D D DE DF, , ,∥ ∥ .
11A E C F∴ ∥ ,
于是 11AC EF∥ .
由 1DE DF,得 EF AC∥ ,
故 11AC AC∥ , 11AC 与 AC 共面.
过点 1B 作 1BO 平面 ABCD于点O ,
则 1 1 1 1B O A E B O C F, ∥ ∥ ,连结OE OF, ,
于是 11OE B A ∥ , 11OF B C ∥ , OE OF∴ .
1 1 1 1B A A D∵ , OE AD∴ .
1 1 1 1B C C D∵ , OF CD∴ .
所以点O 在 BD 上,故 11DB与 DB 共面.
(Ⅱ)证明: 1DD∵ 平面 ABCD, 1D D AC∴ ,
又 BD AC (正方形的对角线互相垂直),
1DD与 BD 是平面 11B BDD 内的两条相交直线,
A B
C D
1A 1B
1C 1D
M
O E
F
AC ∴ 平面 11B BDD .
又平面 11A ACC 过 AC ,∴平面 11A ACC 平面 11B BDD .
(Ⅲ)解:∵直线 DB 是直线 1BB在平面 ABCD上的射影, AC DB ,
根据三垂线定理,有 1AC B B .
过点 A 在平面 11ABB A 内作 1AM B B 于 M ,连结 MC MO, ,
则 1BB 平面 AMC ,
于是 11B B MC B B MO, ,
所以, AMC 是二面角 1A B B C的一个平面角.
根据勾股定理,有 1 1 15 5 6A A C C B B , , .
1OM B B∵ ,有
1
1
2
3
B O OBOM BB·
,
2
3BM
,
10
3AM
,
10
3CM
.
2 2 2 1cos 25
AM CM ACAMC AM CM
· ,
1π arccos 5AMC
,
二面角 1A BB C的大小为
1π arccos 5
.
变式如图,已知 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为3 的正方体,
点 E 在 1AA 上,点 F 在 1CC 上,且 1 1AE FC.
(1)求证: 1E B F D, , , 四点共面;(4 分)
(2)若点G 在 BC 上,
2
3BG
,点 M 在 1BB 上,
GM BF⊥ ,垂足为 H ,求证: EM ⊥平面 11BCC B ;( 4 分)
(3)用 表示截面 1EBFD 和侧面 11BCC B 所成的锐二面角的大小,求 tan .
证明:(1)建立如图所示的坐标系,则 (3 01)BE ,, , (0 3 2)BF ,, , 1 (3 3 3)BD ,, ,
所以 1BD BE BF,故 1BD , BE , BF 共面.
又它们有公共点 B ,所以 1E B F D, , , 四点共面.
C B
A
G
H
M
D
E F
1B
1A
1D
1C
z
y
x
D1 C1
B1A1
E
D C
BA
H
D1 C1
B1A1
E
D C
BA
(2)如图,设 (0 0 )Mz,, ,则
20 3GM z
, ,
,
而 (0 3 2)BF ,, ,由题设得
2 3 2 03GM BF z
,
得 1z .
因为 (0 01)M ,, , (3 01)E ,,,有 (3 0 0)ME ,, ,又 1 (0 0 3)BB ,, , (0 3 0)BC ,, ,所以 1 0ME BB , 0ME BC ,
从而 1ME BB⊥ , ME BC⊥ .
故 ME ⊥平面 11BCC B .
(3)设向量 ( 3)BP x y , , ⊥截面 1EBFD ,于是 BP BE⊥ , BP BF⊥ .
而 (3 01)BE ,, , (0 3 2)BF ,, ,得 3 3 0BP BE x , 3 6 0BP BF y , 解 得 1x , 2y , 所 以
( 1 2 3)BP , , .
又 (3 0 0)BA ,, ⊥平面 11BCC B ,所以 BP 和 BA 的夹角等于 或 π ( 为锐角).
于是
1cos
14
BP BA
BP BA
.
故 tan 13 .
【范例 3】如图,在长方体 AC1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离;
(3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 4
.
解析:法 1
(1)∵AE⊥面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E
(2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 ,
故
.2
1
2
1,2
3
2
1522
1
1
BCAESS ACECAD 而
111
1 1 1 3 1, 1 , .3 3 2 2 3D AEC AEC AD CV S DD S h h h
(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE,
∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角.
设 AE=x,则 BE=2-x
D1 C1
B1A1
E
D C
BA
o
x
z
y
11
2
, , 1.4
, 1 ,
,,
Rt D DH DHD DH
Rt ADE DE x
Rt DHE EH x
在 中
在 中
在 中
.4,32
.32543
.54,3
1
2
2
的大小为二面角时
中在中在
DECDAE
xxxx
xxCECBERtCHDHCRt
法 2:以 D 为坐标原点,直线 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0,
0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0).
(1) .,0)1,,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA 所以因为
(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0),
从而 )0,2,1(),1,1,1(1 ACED , )1,0,1(1 AD ,
设平面 ACD1 的法向量为 ),,( cban ,
则
,0
,0
1ADn
ACn
也即
0
02
ca
ba
,得
ca
ba 2
,
从而 )2,1,2(n ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为
.3
1
3
212
||
|| 1
n
nEDh
(3)设平面 D1EC 的法向量 ,
∴ ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11 DDCDxCE
由
.0)2(
02
,0
,01
xba
cb
CEn
CDn
令 b=1, ∴c=2, a=2-x,
∴ ).2,1,2( xn 依题意
.2
2
5)2(
2
2
2
||||
||
4cos
2
1
1
xDDn
DDn
∴ 321 x (不合,舍去), 322 x .
∴AE= 32 时,二面角 D1—EC—D 的大小为 4
.
变式:如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 ,侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二
面角为 60°.
(Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积;
(Ⅱ)证明 PA⊥BD.
解析:( Ⅰ)如图,取 AD 的中点 E,
连结 PE,则 PE⊥AD.
作 PO⊥平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE.
根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD,
所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角
的平面角,由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,所以 PO=3 3 ,
四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD=
.96333483
1
(Ⅱ)法 1 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0,0,3 ),
A(2 ,-3,0),B(2 ,5,0),D(-2 ,-3,0)
所以 ).0,8,34(),33,3,32( BDPA
因为 ,002424 BDPA 所以 PA⊥BD.
法 2:连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算
可得 EO=3,AE=2 3 ,又知 AD=4 ,AB=8,
得
.AB
AD
AE
EO
所以 Rt△ AEO∽Rt△ BAD.得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.
因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以 PA⊥BD.
【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力,解题的关
键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求,但坐标系的位置不规则,注意点坐标的表示。