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  • 2021-06-16 发布

高考数学二轮名师精编精析:空间位置关系与证明

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1 1 1 1 A B C D D C B A 空间位置关系与证明 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.(浙江)若 P 是两条异面直线lm, 外的任意一点,则(B ) A.过点 P 有且仅有一条直线与lm, 都平行 B.过点 有且仅有一条直线与 都垂直 C.过点 有且仅有一条直线与 都相交 D.过点 有且仅有一条直线与 都异面 2.(06 湖南)如图,过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中 点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( D ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 3.(湖北)平面 外有两条直线 m 和 n ,如果 和 在平面 内的射影分别是 m 和 n ,给出下列四个命题: ① m n m n   ; ② m n m n   ; ③ 与 相交 与 相交或重合; ④ 与 平行 与 平行或重合. 其中不正确的命题个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(湖北)关于直线 m 、 n 与平面 、  ,有下列四个命题:(D ) ①  //,// nm 且  // ,则 nm// ; ②   nm , 且   ,则 nm  ; ③  //,nm  且  // ,则 nm  ; ④  nm ,// 且   ,则 nm// . 其中真命题的序号是: A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5.在正方形 '''' DCBAABCD  中,过对角线 'BD 的一个平面交 'AA 于 E,交 'CC 于 F,则( ) 四边形 EBFD ' 一定是平行四边形 四边形 有可能是正方形 四边形 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形 EBFD ' 有可能垂直于平面 DBB ' 以上结论正确的为 ①③④ 。(写出所有正确结论的编号) 6.(上海)在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知, 是两个相交平面,空间两条直线 12ll, 在 上的射影是直线 12ss, , 12ll, 在  上的射影是直线 12tt, .用 1s 与 2s , 1t 与 2t 的位置关系,写出一个总能确定 1l 与 2l 是异 面直线的充分条件: 21// ss ,并且 1t 与 2t 相交( //1t 2t ,并且 1s 与 2s 相交) ★★高考要考什么 线与线的位置关系:平行、相交、异面; 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内; 面与面的位置关系:平行、相交; 二.转化思想:       线线平行 线面平行 面面平行,线 线 线 面 面 面 ; ★★★高考将考什么 【 范 例 1 】 如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中, PA  底面 ABCD, 60AB AD AC CD ABC   , , °, PA AB BC, E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明CD AE ; (Ⅱ)证明 PD 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 A PD C的大小. (Ⅰ)证明:在四棱锥 P ABCD 中, 因 PA 底面 ABCD,CD  平面 ,故 PA CD . AC CD PA AC A,∵ , CD ∴ 平面 PAC . 而 AE 平面 PAC , CD AE∴ . (Ⅱ)证明:由 PA AB BC, 60ABC°,可得 AC PA . E∵ 是 PC 的中点, AE PC∴ . 由(Ⅰ)知, AE CD ,且 PC CD C ,所以 AE  平面 PCD. A B C D P E 而 PD  平面 PCD, AE PD∴ . PA ∵ 底面 ABCD PD, 在底面 ABCD内的射影是 AD , AB AD , AB PD∴ . 又 AB AE A∵ ,综上得 PD  平面 ABE . (Ⅲ)解法一:过点 A 作 AM PD ,垂足为 M ,连结 EM .则(Ⅱ)知, AE  平面 PCD, AM 在平面 PCD内 的射影是 EM ,则 EM PD . 因此 AME 是二面角 A PD C的平面角. 由已知,得 30CAD°.设 AC a , 可得 2 3 21 2 3 3 2PA a AD a PD a AE a   , , , . 在 ADPRt△ 中, AM PD∵ , AM PD PA AD∴ · · , 则 23 273 721 3 aaPA ADAM aPD a    ·· . 在 AEMRt△ 中, 14sin 4 AEAME AM . 解法二:由题设 PA 底面 ABCD, PA  平面 PAD ,则平面 PAD 平面 ACD ,交线为 AD . 过点C 作CF AD ,垂足为 F ,故 CF  平面 PAD .过点 F 作 FM PD ,垂足为 M ,连结CM ,故 CM PD .因 此 CMP 是二面角 A PD C的平面角. 由已知,可得 30CAD°,设 AC a , 可得 2 3 21 1 3 3 3 2 6PA a AD a PD a CF a FD a    , , , , . FMD PAD∵△ ∽△ , FM FD PA PD∴ . 于是, 3 76 1421 3 aaFD PAFM aPD a    ·· . A B C D P E M F M 在 CMFRt△ 中, 1 2tan 7 7 14 aCFCMF FM a    . 所以二面角 A PD C的大小是arctan 7 . 所以二面角 A PD C的大小是 14arcsin 4 . 变式:如图,在五面体 ABCDEF 中,点O 是矩形 ABCD的对 角线的交点, 面CDE 是等边三角形,棱 // 1 2EF BC . (1)证明 FO //平面 ; (2)设 3BC CD ,证明 EO  平面CDF . 证明:( Ⅰ)取 CD 中点 M,连结 OM. 在矩形 ABCD 中, 1// 2OM BC ,又 1// 2EF BC ,则 //OMEF , 连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. //FO EM 又 FO 平面 CDE, EM  平面 CDE, ∴ FO∥平面 CDE (Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△ CDE 中, ,CM DM EM CD且 31 22EM CD BC EF   . 因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M, ∴CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO. 而 FM CD M,所以 EO⊥平面 CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,注意线面平 行和线面垂直判定定理的使用,考查空间想象能力和推理论证能力。 【范例 2】如图,在六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方 形,四边形 1 1 1 1A B C D 是边长为 1 的正方形, 1DD 平面 1 1 1 1A B C D , 1DD 平面 ABCD , 1 2DD  . (Ⅰ)求证: 11AC 与 AC 共面, 11BD与 BD 共面. A B C D 1A 1B 1C 1D M (Ⅱ)求证:平面 11A ACC 平面 11B BDD ; (Ⅲ)求二面角 1A BB C的大小(用反三角函数值表示). 证明:以 D 为原点,以 1DA DC DD, , 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D xyz 如图, 则有 1 1 1 1 (2 0 0) (2 2 0) (0 2 0) (10 2) (11 2) (01 2) (0 0 2) A B C A B C D ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,, . (Ⅰ)证明: 1 1 1 1( 110) ( 2 2 0) (110) (2 2 0)AC AC D B DB     ,,, ,,, ,,, ,,∵ . 1 1 1 122AC AC DB D B,∴ . AC∴ 与 11AC 平行, DB 与 11DB 平行, 于是 11AC 与 AC 共面, 11BD与 BD 共面. (Ⅱ)证明: 1 (0 0 2) ( 2 2 0) 0DD AC   ,, ,,· · , (2 2 0) ( 2 2 0) 0DB AC   ,, ,,· · , 1DD AC∴ , DB AC . 1DD 与 DB 是平面 11B BDD 内的两条相交直线. AC ∴ 平面 11B BDD . 又平面 11A ACC 过 AC . ∴平面 11A ACC 平面 11B BDD . (Ⅲ)解: 1 1 1( 10 2) ( 1 1 2) (0 1 2)AA BB CC      ,,, , ,, , , . 设 1 1 1()x y z , ,n 为平面 11A ABB 的法向量, 1 1 120AA x z   n· , 1 1 1 120BB x y z    n· . 于是 1 0y  ,取 1 1z  ,则 1 2x  , (2 01) ,,n . 设 2 2 2()x y z , ,m 为平面 11B BCC 的法向量, 1 2 2 220BB x y z    m· , 1 2 220CC y z   m· . A B C D 1A 1B 1C 1D x y z 于是 2 0x  ,取 2 1z  ,则 2 2y  , (0 21) ,,m . 1cos 5, mnmn mn · . ∴二面角 1A BB C的大小为 1π arccos 5 . 解法 2(综合法): (Ⅰ)证明: 1DD∵ 平面 1 1 1 1A B C D , 1DD 平面 ABCD. 1D D DA∴ , 1D D DC ,平面 1 1 1 1A B C D ∥平面 ABCD. 于是 11C D CD∥ , 11D A DA∥ . 设 EF, 分别为 DA DC, 的中点,连结 11EF A E C F, , , 有 1 1 1 1 11A E D D C F D D DE DF, , ,∥ ∥ . 11A E C F∴ ∥ , 于是 11AC EF∥ . 由 1DE DF,得 EF AC∥ , 故 11AC AC∥ , 11AC 与 AC 共面. 过点 1B 作 1BO 平面 ABCD于点O , 则 1 1 1 1B O A E B O C F, ∥ ∥ ,连结OE OF, , 于是 11OE B A ∥ , 11OF B C ∥ , OE OF∴ . 1 1 1 1B A A D∵ , OE AD∴ . 1 1 1 1B C C D∵ , OF CD∴ . 所以点O 在 BD 上,故 11DB与 DB 共面. (Ⅱ)证明: 1DD∵ 平面 ABCD, 1D D AC∴ , 又 BD AC (正方形的对角线互相垂直), 1DD与 BD 是平面 11B BDD 内的两条相交直线, A B C D 1A 1B 1C 1D M O E F AC ∴ 平面 11B BDD . 又平面 11A ACC 过 AC ,∴平面 11A ACC 平面 11B BDD . (Ⅲ)解:∵直线 DB 是直线 1BB在平面 ABCD上的射影, AC DB , 根据三垂线定理,有 1AC B B . 过点 A 在平面 11ABB A 内作 1AM B B 于 M ,连结 MC MO, , 则 1BB 平面 AMC , 于是 11B B MC B B MO, , 所以, AMC 是二面角 1A B B C的一个平面角. 根据勾股定理,有 1 1 15 5 6A A C C B B  , , . 1OM B B∵ ,有 1 1 2 3 B O OBOM BB· , 2 3BM  , 10 3AM  , 10 3CM  . 2 2 2 1cos 25 AM CM ACAMC AM CM    · , 1π arccos 5AMC   , 二面角 1A BB C的大小为 1π arccos 5 . 变式如图,已知 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为3 的正方体, 点 E 在 1AA 上,点 F 在 1CC 上,且 1 1AE FC. (1)求证: 1E B F D, , , 四点共面;(4 分) (2)若点G 在 BC 上, 2 3BG  ,点 M 在 1BB 上, GM BF⊥ ,垂足为 H ,求证: EM ⊥平面 11BCC B ;( 4 分) (3)用 表示截面 1EBFD 和侧面 11BCC B 所成的锐二面角的大小,求 tan . 证明:(1)建立如图所示的坐标系,则 (3 01)BE  ,, , (0 3 2)BF  ,, , 1 (3 3 3)BD  ,, , 所以 1BD BE BF,故 1BD , BE , BF 共面. 又它们有公共点 B ,所以 1E B F D, , , 四点共面. C B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C z y x D1 C1 B1A1 E D C BA H D1 C1 B1A1 E D C BA (2)如图,设 (0 0 )Mz,, ,则 20 3GM z , , , 而 (0 3 2)BF  ,, ,由题设得 2 3 2 03GM BF z    , 得 1z  . 因为 (0 01)M ,, , (3 01)E ,,,有 (3 0 0)ME  ,, ,又 1 (0 0 3)BB  ,, , (0 3 0)BC  ,, ,所以 1 0ME BB  , 0ME BC  , 从而 1ME BB⊥ , ME BC⊥ . 故 ME ⊥平面 11BCC B . (3)设向量 ( 3)BP x y , , ⊥截面 1EBFD ,于是 BP BE⊥ , BP BF⊥ . 而 (3 01)BE  ,, , (0 3 2)BF  ,, ,得 3 3 0BP BE x   , 3 6 0BP BF y   , 解 得 1x  , 2y  , 所 以 ( 1 2 3)BP   , , . 又 (3 0 0)BA  ,, ⊥平面 11BCC B ,所以 BP 和 BA 的夹角等于 或 π  ( 为锐角). 于是 1cos 14 BP BA BP BA   . 故 tan 13  . 【范例 3】如图,在长方体 AC1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 4  . 解析:法 1 (1)∵AE⊥面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 .2 1 2 1,2 3 2 1522 1 1   BCAESS ACECAD 而 111 1 1 1 3 1, 1 , .3 3 2 2 3D AEC AEC AD CV S DD S h h h             (3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x D1 C1 B1A1 E D C BA o x z y 11 2 , , 1.4 , 1 , ,, Rt D DH DHD DH Rt ADE DE x Rt DHE EH x            在 中 在 中 在 中 .4,32 .32543 .54,3 1 2 2 的大小为二面角时 中在中在 DECDAE xxxx xxCECBERtCHDHCRt    法 2:以 D 为坐标原点,直线 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0, 0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0). (1) .,0)1,,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA  所以因为 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0), 从而 )0,2,1(),1,1,1(1  ACED , )1,0,1(1 AD , 设平面 ACD1 的法向量为 ),,( cban  , 则      ,0 ,0 1ADn ACn 也即      0 02 ca ba ,得      ca ba 2 , 从而 )2,1,2(n ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 .3 1 3 212 || || 1  n nEDh (3)设平面 D1EC 的法向量 , ∴ ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11  DDCDxCE 由           .0)2( 02 ,0 ,01 xba cb CEn CDn 令 b=1, ∴c=2, a=2-x, ∴ ).2,1,2( xn  依题意 .2 2 5)2( 2 2 2 |||| || 4cos 2 1 1      xDDn DDn ∴ 321 x (不合,舍去), 322 x . ∴AE= 32  时,二面角 D1—EC—D 的大小为 4  . 变式:如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 ,侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二 面角为 60°. (Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD. 解析:( Ⅰ)如图,取 AD 的中点 E, 连结 PE,则 PE⊥AD. 作 PO⊥平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD, 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角 的平面角,由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6,所以 PO=3 3 , 四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD= .96333483 1  (Ⅱ)法 1 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0,0,3 ), A(2 ,-3,0),B(2 ,5,0),D(-2 ,-3,0) 所以 ).0,8,34(),33,3,32(  BDPA 因为 ,002424  BDPA 所以 PA⊥BD. 法 2:连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.通过计算 可得 EO=3,AE=2 3 ,又知 AD=4 ,AB=8, 得 .AB AD AE EO  所以 Rt△ AEO∽Rt△ BAD.得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以 PA⊥BD. 【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力,解题的关 键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求,但坐标系的位置不规则,注意点坐标的表示。