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  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5节函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教A版

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第 5 节 函数 y = A sin( ωx + φ ) 的图象及应用 考试要求  1. 了解函数 y = A sin( ωx + φ ) 的物理意义;能画出 y = A sin( ωx + φ ) 的图象,了解参数 A , ω , φ 对函数图象变化的影响; 2. 会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 知 识 梳 理 1. 函数 y = A sin( ωx + φ ) 的有关概念 ωx + φ 3. 函数 y = sin x 的图象经变换得到 y = A sin( ωx + φ ) 的图象的两种途径 | φ | 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 答案  (1) ×   (2) ×   (3) √   (4) √ 答案  C 3. ( 老教材必修 4P66T4 改编 ) 如图所示,某地夏天从 8 ~ 14 时的用电量变化曲线近似满足函数 y = A sin( ωx + φ ) + b . 则这段曲线的函数解析式为 ________________. 解析  观察图象可知从 8 ~ 14 时的图象是 y = A sin( ωx + φ ) + b 的半个周期的图象, 答案  A 5. (2020· 绵阳诊断改编 ) y = cos( x + 1) 图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 ________. 6. (2020· 太原一模 ) 已知函数 f ( x ) = A sin( ωx + φ )( A >0 , ω >0 , | φ |<π) 的部分图象如图,则函数 g ( x ) = cos(4 φx + ω ) 的解析式为 ________. 考点一 函数 y = A sin( ωx + φ ) 的图象及变换 答案  (1)D   (2)A 考点二 由图象求函数 y = A sin( ωx + φ ) 的解析式 (2) (2020· 河南六市联考 ) 函数 f ( x ) = A sin( ωx + φ )( A >0 , ω >0 , 0 ≤ φ <2π) 的部分图象如图所示,则 f (2 019) 的值为 ________. 规律方法  y = A sin( ωx + φ ) 中 φ 的确定方法 (1) 代入法:把图象上的一个已知点代入 ( 此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上 ) 或把图象的最高点或最低点代入 . (2) 五点法:确定 φ 值时,往往以寻找 “ 五点法 ” 中的特殊点作为突破口 . 【训练 2 】 (1) (2020· 佛山模拟 ) 某地一天 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y = A sin( ωx + φ ) + b (| φ |<π) ,则这段曲线的函数解析式可以为 (    ) 解析  (1) 令 ω >0. 由函数图象可知,函数的最大值 M 为 30 ,最小值 m 为 10 ,周期 T = 2 × (14 - 6) = 16 , 考点三 三角函数图象、性质的综合应用 多维探究 角度 1  图象与性质的综合问题 答案  B 角度 2  三角函数的零点 ( 方程的根 ) 问题 答案  ( - 2 ,- 1) 角度 3  三角函数模型的应用 【例 3 - 3 】 如图,某大风车的半径为 2 米,每 12 秒旋转一周,它的最低点 O 离地面 1 米,点 O 在地面上的射影为 A . 风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始,逆时针方向旋转 40 秒后到达 P 点,则点 P 到地面的距离是 ________ 米 . 解析  以圆心 O 1 为原点,以水平方向为 x 轴方向,以竖直方向为 y 轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为 2 米,圆上最低点 O 离地面 1 米, 12 秒转动一周,设 ∠ OO 1 M = θ ,运动 t ( 秒 ) 后与地面的距离为 f ( t ). 答案  4 规律方法  1. 研究 y = A sin( ωx + φ ) 的性质时可将 ωx + φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题 . 2. 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 . 3. 三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题 . 解析  (1) 因为 f ( x ) 是奇函数 ( 显然定义域为 R ) ,所以 f (0) = A sin φ = 0 ,即 sin φ = 0. 又 | φ |<π ,所以 φ = 0. (3) 因为当 x = 6 时, y = a + A = 28 ; 当 x = 12 时, y = a - A = 18 ,所以 a = 23 , A = 5 , 逻辑推理与数学运算 —— 三角函数中有关 ω 的求解 数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式 . 运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成 . 类型 1  三角函数的周期 T 与 ω 的关系 【例 1 】 为了使函数 y = sin ωx ( ω >0) 在区间 [0 , 1] 上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值为 (    ) 答案  B 类型 2  三角函数的单调性与 ω 的关系 答案  D 类型 3  三角函数的对称性、最值与 ω 的关系 (2) 显然 ω ≠ 0 ,分两种情况: 思维升华  这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何 .