【数学】2020届一轮复习人教版（理）第10章第2讲排列与组合作业 5页

A组　基础关 ‎1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．‎56 C．49 D．28‎ 答案　C 解析　分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为CC＋CC＝49.‎ ‎2．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为(　　)‎ A．72 B．‎324 C．648 D．1296‎ 答案　D 解析　核潜艇排列数为A，6艘舰艇任意排列的排列数为A，同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2，则舰艇分配方案的方法数为A(A－AA×2)＝1296.‎ ‎3．(2018·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　　)‎ A．A种 B．A种 C．AA种 D．CCAA种 答案　D 解析　由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有CCAA种摆放方法．‎ ‎4．(2018·石家庄模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．‎120 C．144 D．168‎ 答案　B 解析　解法一：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．安排小品类节目和相声类节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品‎2”‎和“相声，小品1，小品‎2”‎．对于第一种情况，形式为 ‎“，小品1，歌舞1，小品2，，相声，”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“，小品1，，相声，，小品2，”．有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．‎ 解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．‎ ‎5．有6个座位连成一排，现有A，B，C，D，E，F共6人就坐，则B，C中至少有1人与A相邻而坐的不同坐法有(　　)‎ A．192种 B．336种 C．384种 D．432种 答案　B 解析　若A坐在第1或第6个位置，则有‎2CA＝96种不同的坐法；若A在第2、3、4、5号位置时，则有A－‎2A－‎4AA＝336种不同的坐法，其中，‎2A是A在两侧的坐法，‎4AA是A在2、3、4、5号位置且和B，C都不相邻的坐法；综上所述，共有336＋96＝432种不同的坐法．‎ ‎6．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)‎ A.A种 B．CCC·34种 C.·43种 D．CCC·43种 答案　B 解析　要从12个人中选3人为一组，所以有种，每个组选一名组长，故有·34种，每个组还要研究一个课题，并且只能研究一个课题，所以相当于四个组排列选课题，故有A·34＝CCC·34种．‎ ‎7．(2019·湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有(　　)‎ A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 答案　C 解析　若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有CCA＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故有2×(A＋CC)·C＝72(种)，根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.‎ ‎8．(2018·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ 答案　60‎ 解析　把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖，)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.‎ ‎9．在“心连心”活动中，五名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访，每个村子至少安排一名党员参加，且A，B两名党员必须在同一个村子的不同分配方法种数为________．‎ 答案　36‎ 解析　把A，B两名党员看作一个整体，5个人就可看成4个部分，把其中2个部分合并，共有C种方法，再把这三部分分配到三个村子，有A种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同分配方法种数为C×A＝36种．‎ ‎10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)‎ 答案　1260‎ 解析　若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1260.‎ B组　能力关 ‎1．(2018·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)‎ A．72 B．‎144 C．240 D．288‎ 答案　D 解析　第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有CA＝6种排法．第二步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种情况讨论：‎ ‎①x1，x2中间有一个元素，如果是A，则y1，y2‎ 在两端，有2种排法，如果是y1，y2中的一个，有12种排法；‎ ‎②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法；‎ ‎③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．‎ 因为x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)．‎ ‎2．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有(　　)‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 答案　A 解析　根据题意，分两步进行分析：①将《将进酒》《望岳》和另两首诗词共4首诗词全排列，有A＝24(种)顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有＝12(种)；‎ ‎②这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A＝12(种)安排方法，由分步乘法计数原理，知后六场的排法有12×12＝144(种)．故选A.‎ ‎3．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，男员工丙必须被选且安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有(　　)‎ A．960种 B．984种 C．1080种 D．1440种 答案　A 解析　分四类：①甲、乙都不选，CCA＝432；②选甲不选乙，CCAA＝216；③选乙不选甲，CCAA＝216；④甲、乙都选，CCAAA＝96.故由分类加法计数原理可得，不同方案共有432＋216＋216＋96＝960(种)，选A.‎ ‎4．(2019·泸州模拟)若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“‎2017”‎．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有________个(　　)‎ A．53 B．‎59 C．66 D．71‎ 答案　D 解析　从0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加为10的可能组合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}组成的无重复数字的“完美四位数”有A个；因为0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}组成的无重复数字的“完美四位数”有4(A－A)个；因此用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的“完美四位数”共有A＋4(A－A)＝96个，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}组成的“完美四位数”中小于2017的分别各有A＝6个，由{0,1,2,7}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有A＋1＝7个，由{0,2,3,5}组成的“完美四位数”中小于等于2017的有0个，因此大于2017的“完美四位数”共有96－3×6－7－0＝71个．‎ ‎5．(2018·山东济宁检测)将4名新来的同学分配到A，B，C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________种．‎ 答案　24‎ 解析　甲同学不能分配到A班，则甲同学可以放在B，C班，有A种方法，其他三个同学有2种情况：①三人中，有1个人与甲共同分配到一个班，即A，B，C每班一人，即在三个班级全排列，有A种方法；②三人中，没有人与甲共同分配到一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三人中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人进行全排列，有C·A种情况．故另外三个同学有A＋C·A种安排方法，所以不同的分配方案有A(A＋C·A)＝24(种)．‎ ‎6．电影院一排有10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．‎ 答案　40‎ 解析　除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成6个空，三人从6个空中选3个位置坐上去有C种坐法，因为甲坐在中间，所以乙、丙有A种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有C·A＝40(种)．‎