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- 2021-06-16 发布
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课时作业63 绝对值不等式
[基础达标]
1．[2020·福建三明一中检测]已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|－2，
∴－24，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．
2．[2020·安徽五校联盟质检]已知f(x)＝|x|＋2|x－1|.
(1)解不等式f(x)≥4；
(2)若不等式f(x)≤|2a＋1|有解，求实数a的取值范围．
解析：(1)不等式f(x)≥4，即|x|＋2|x－1|≥4，
等价于或或⇒x≤－或无解或x≥2.
故不等式的解集为∪.
(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于f(x)min≤|2a＋1|.
f(x)＝|x|＋2|x－1|＝，故f(x)的最小值为1，
所以1≤|2a＋1|，得2a＋1≤－1或2a＋1≥1，解得a≤－1或a≥0，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
3．[2020·昆明市质量检测]已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；
(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f≥4.
解析：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，
等价于或或，
解得x≤－1或x≥1，
所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪.
(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f＝|－2x－1|＋|－1|，
因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4；当且仅当，即x＝±1时等号成立，
所以f(－x)＋f≥4.
4．[2020·安徽省考试试题]已知f(x)＝|x－2|.
(1)解不等式f(x)＋1＞f(2x)；
(2)若f(m)≤1，f(2n)≤2，求|m－2n－1|的最大值，并求此时实数m，n的取值．
解析：(1)原不等式等价于|x－2|＋1＞2|x－1|，
∴或
或，
∴－1＜x＜1或1≤x＜或∅，
∴原不等式的解集为.
(2)由题意得f(m)＝|m－2|≤1，f(2n)＝|2n－2|≤2，
∴|n－1|≤1，
∴|m－2n－1|＝|(m－2)－2(n－1)－1|≤|m－2|＋2|n－1|＋1≤4，
当且仅当时，|m－2n－1|取得最大值4.
5．[2020·洛阳市统考]已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝－1时原不等式可化为|x＋1|－2|x|≥－1，
设φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则φ(x)＝
则，或，或，
即－≤x≤2.
∴原不等式的解集为{x|－≤x≤2}．
(2)存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，等价于|x＋1|≥2|x|＋a有解，
即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max，
由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
∴φ(x)max＝φ(0)＝1，
∴a≤1.
6．[2020·昆明市诊断测试]已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|.
(1)求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若不等式f(x)＜x2＋x＋m的解集为R，求实数m的取值范围．
解析：(1)原不等式等价于|2x＋1|－|x－1|＞1，
等价于或或，解得x＜－3或＜x＜1或x≥1.
所以原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞}．
(2)由f(x)＜x2＋x＋m得m＞－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|.
令g(x)＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，则由题意知m＞g(x)max.
g(x)＝，作出其图象如图所示，由图象知g(x)max＝1.
所以m＞1，即m的取值范围为(1，＋∞)．
[能力挑战]
7．[2020·武汉市调研测试]已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x在x∈R时恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，由f(x)＞0，得2|x＋1|＞|x－1|，
∴4(x＋1)2－(x－1)2＞0，
∴(3x＋1)(x＋3)＞0，
∴x＞－或x＜－3，
∴f(x)＞0的解集为{x|x＜－3或x＞－}．
(2)f(x)＝2|x＋1|－|x－a|≥x对x∈R恒成立，
即|x－a|≤2|x＋1|－x，
即－2|x＋1|＋x≤x－a≤2|x＋1|－x，
∴2x－2|x＋1|≤a≤2|x＋1|对x∈R恒成立．
显然2|x＋1|min＝0，
令g(x)＝2x－2|x＋1|，
则g(x)＝，
g(x)在(－∞，－1]上单调递增，
∴g(x)max＝－2，
∴－2≤a≤0，即实数a的取值范围为[－2,0]．
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