【数学】2020届一轮复习人教A版 三角恒等变换与解三角形 作业 5页

‎2020届一轮复习人教A版 三角恒等变换与解三角形 作业 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4　　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：选A　∵cos＝，‎ ‎∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，‎ ‎∴AB＝4.‎ ‎2．甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．‎ 解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝282＋.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x<2.5，则当x＝时距离最小，且最小距离为 ＝，若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝15>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时．‎ 答案： ‎3．(2018·南宁摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．‎ ‎(1)求证：2b＝a＋c；‎ ‎(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.‎ 解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，‎ ‎∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，‎ 可得sin Ccos B＋sin B cos C＋sin C＝2sin B，‎ sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，‎ ‎∴sin A＋sin C＝2sin B，‎ ‎∴a＋c＝2b.‎ ‎(2)∵B＝，‎ ‎∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，‎ ‎∴ac＝16.‎ 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－‎3ac.‎ ‎∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.‎ 解三角形与三角函数的交汇问题 ‎[典例]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，ω>0，|φ|<的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝‎2A，‎ 又A＋B＋C＝π，所以A＝.‎ 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ，‎ 所以c2－‎10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.‎ 因为CO＝10×sin ＝5，‎ 所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋)．‎ ‎(2)因为AO＝10×cos ＝5，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，‎ 故ω＝.‎ 因为f(－5)＝Msin＝0，‎ 所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.‎ 因为|φ|<，所以φ＝.‎ 因为f(0)＝Msin ＝5，所以M＝10，‎ 所以f(x)＝10sin.‎ ‎[解题方略]　解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 ‎[多练强化]‎ ‎(2019届高三·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.‎ ‎(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．‎ 解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－ ‎＝－sin 2x－ ‎＝－sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，和.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin，‎ ‎∴f(A)＝－sin＝－1，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴0