2020-2021学年高二数学上册同步练习：圆与圆的位置关系 11页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：圆与圆的位置关系 一、单选题 1．圆    22244xy 与圆 22(2)(1)9xy 的位置关系为（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【解析】因为圆 的圆心为  1 2 , 4O  ，半径为 1 2r  ； 圆 的圆心为  2 2 ,1O ，半径为 2 3r  ； 则    22 1212 22415O Orr . 所以两圆外切. 故选 C. 2．两圆   2 2 1 :34Cxy  与   22 2 :416Cxy  的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆 的圆心为  3 ,0 ，半径为 圆 的圆心为  04， ，半径为 2 4r  两圆心的距离为 22 1 2211 2123456 ，C CrrC Crr . 所以两圆相交，则其公切线有 2 条. 故选 B 3．点 P 在圆 22 1 : (4)(2)9Cxy  ，点 Q 在圆 2 2 : (2)(1)4Cxy  上，则 ||PQ 的最小值为（ ） A． 5 B． 1 C．355  D．355  【答案】C 【解析】    22 12 4 2 2 1 3 5CC      ， 圆 1C 的半径为3 ，圆 2C 的半径为 2 ， 因为3 5 2 3，故圆 与圆 相离， 故 的最小值为 12 2 3 3 5 5CC     . 故选 C. 4．圆 C1：x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2：x2+y2-4x-4y-2=0 的位置关系是（ ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【解析】由于 圆 C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即    221425xy ，表示以 C1（−1，−4）为圆心， 半径等于 5 的圆. 圆 C2：x2+y2-4x-4y-2=0，即    222210xy ，表示以 C2（2，2）为圆心，半径等于 10 的圆. 由于两圆的圆心距等于 22(2 1) (2 4) 3 5    ，大于 5 1 0 ，小于 5 1 0 ，故两个圆相交. 故选 A. 5．两圆相交于两点 ( ,1)k 和 (1,3 ) ，两圆的圆心都在直线 02 cxy   上，则 kc（ ） A．-1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】由圆与圆相交性质可知，点  ,1k 和  1,3 所在直线与两圆的圆心所在直线 02 cxy 互相 垂直，所以 31 11 k   ，则 3k  ，又直线 过点 和 中点  2 ,2 ，则 0c = ，所以 3kc， 故选 C. 6．两圆 2222 2620,4240xyxyxyxy 的公共弦所在的直线方程为（ ） A．3430xy B． 4350xy C．3490xy D． 4350xy 【答案】A 【解析】两圆方程相减，得 6860xy ，即 . 故选 A 7．圆 224xy与圆 222 6 0x y y    的公共弦长为（ ） A．1 B．2 C． 3 D． 23 【答案】D 【解析】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 1y  ，圆 224xy的半径 2R  ，圆心  0 ,0 到 直线 的距离 1d  ，则弦长 22223lRd ． 故选 D ． 8．已知 m 是正实数，则“ 16m  ”是“圆 221xy与圆    2243xym 有公共点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 的圆心  0 ,0O ，半径 1r  ， 的圆心  4, 3A  ，半径 0R m m， ， 两圆圆心距 22435OA  ， 两圆有公共点  151,16,36mmm ， 显然   163616,+， ， 故选 B. 9．已知圆    22 1 :24Oxmy  与圆    22 2 :229Oxym  有 3 条公切线，则 m  （ ） A． 1 B． 1 或 17 5 C． D． 或 17 5 【答案】B 【解析】由题意，圆 1O 与圆 2O 外切，所以 12 235OO  ，即    222 2 2 5mm    ，解得 1m  或 17 5m  . 故选 B 10．已知圆 22:1Cxy ，直线 : 4 0l ax y．若直线l 上存在点 M ，以 为圆心且半径为 1 的圆与 圆 C 有公共点，则 a 的取值范围（ ） A．   ,33,  B． 3,3 C． , 3 3,    D． 3, 3 【答案】C 【解析】直线 l 上存在点 M ，以 为圆心且半径为 1 的圆与圆 C 有公共点， 则 | | 2MC  ，只需 min| | 2MC  ， 即圆 22:1C x y 的圆心到直线 : 4 0l a x y 的距离 2d ， 2 2 4 2,3,3 1 daa a    或 3a  . 故选 C. 11．已知圆 22 1 :1C x y 和圆 22 2 :20Cxyxy  的公共弦过点 ,ab ，则 224ab 的最小值为 （ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 1 D． 2 【答案】B 【解析】将两圆方程作差可得圆 1C 与圆 2C 的公共弦所在直线的方程为 21xy， 由已知条件得 21ab， 21ab ，   2 22222 11412212 22abbbbbb    ， 所以，当 1 2b  时， 取最小值 . 故选 B. 12．已知圆 : 22( 1) ( 6) 25xy    ，圆 : 2 2 2( 17) ( 30)x y r    ．若圆 存在一点 P ，使得过点 可 作一条射线与圆 依次交于 A 、 B 两点，且满足||2||PAAB ，则半径 r 的取值范围是（ ） A．[5，55] B．[5，50] C．[10，50] D．[10，55] 【答案】A 【解析】圆 ： 的圆心为 1,6 ，半径为 5 . 圆 : 的圆心为 17,30 ，半径为 . 两个圆的圆心距为    2217 1 30 6 30    . 如图：因为 | | 2| |P A A B ，可得 ||AB 的最大值为直径，此时 2 20CA ， 0r  . 当半径扩大到 55 时，此时圆 2C 上只有一点到 1C 的距离为 25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满 足 . 故选 A. 二、填空题 13．已知两圆 2210xy和 22(1)(3)20xy 相交于 AB， 两点，则直线 AB 的方程是 ． 【答案】 30xy 【解析】 两圆为 ①，   221320xy ②， ② ① 可得 ，所以公共弦 所在直线的方程为 ． 故填 14．已知圆 22 1 :1Cxy ，圆 22 2 :2210Cxyxy  ，则圆 与圆 的位置关系为______. 【答案】相交 【解析】由题设有  1 0,0C ， 1 1r  ，  2 1 ,1C ， 2 1r  ，故    22 12 01012CC  . 所以 121 212 02rrC Crr ，故圆 与圆 的位置关系为相交. 故填相交. 15．已知圆 22 1 : 2 4 4 0C x y x y     ，圆 22 2 :2220Cxyxy  ，则两圆的公切线条数是 ___________. 【答案】 2 【解析】由圆 ，可得： 22( 1) ( 2) 9xy    ， 可得其圆心为 (1, 2 ) ，半径为 3 ； 由 22 2 :2220Cxyxy  ，可得 22(1)(1)4xy ， 可得其圆心为 ( 1,1) ，半径为 2； 所以可得其圆心距为： 22(11)(21)13d  ， 可得：321325 d＜ ＜ ， 故两圆相交，其公切线条数为 2 , 故填 2. 16．已知动圆 M 与圆 C1：(x＋5)2＋y2＝16 外切，与圆 C2：(x－5)2＋y2＝16 内切，则动圆圆心的轨迹方程 为 ． 【答案】 22 1(0)169 xy x 【解析】设动圆的圆心 ( , )M x y ，半径为 r，则可得 1 2 4 4 MCr MCr    ，消 r 得 128MC MC，则有 双曲线的定义可知，点 M 的轨迹就是以 C1，C2 为焦点，实轴长 28a  的双曲线的右支，所以其轨迹方 程为 ． 故填 17．已知圆O ： 221xy， 圆 N ：   2221x a y a     . 若圆 上存在点Q ，过点 作圆 的 两条切线. 切点为 ,AB，使得 60AQB，则实数 a 的取值范围是_______ 【答案】 14141,1 22   【解析】已知有 2QO  ，即点 Q 的轨迹方程为圆 T ： 224xy， 问题转化为圆 N 和圆 有公共点， 则   22123 aa ，故 14141122a ， 故填 ． 18．已知圆 1C ：   22224xy ， 2C ：   222 1 2xy    ，点 P 是圆 上的一个动点， AB 是 圆 的一条动弦，且 2AB  ，则 PA PB 的最大值是________. 【答案】16 【解析】由题设知，圆 的圆心为  1 2 , 2C ，半径为 2，圆 的圆心为  2 2 , 1C  ， 半径为 2 ，过 作 2CDAB 交 于 D ，则 为 的中点， 且  2 2 2 2 1 1CD   ，∴点 的轨迹为圆 3C ：   22211xy ， 其圆心为  3 2,1C ，半径为 1，由向量的平行四边形法则知， 2PAPBPD ， ∵    22 13 22215213CC  ，∴圆 与圆 外离，则 PD 的最大值为5218 ， 的最大值是 16. 故填 16 三、解答题 19．已知圆 22 1 :420Cxyxy 与圆 22 2 :240Cxyy  . （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆的交点且圆心在直线 2 4 1xy上的圆的方程. 【解析】（1）过圆 1C 与圆 2C 交点的直线，即为两圆公共弦的直线. 所以过 A、B 两点的直线方程 : 1 0ABl x y   . （2）设所求圆的方程为  2 2 2 2: 4 2 2 4 0C x y x y x y y        . 则圆心坐标为 21,11     ∵圆心在直线 2 4 1xy上 ∴将圆心坐标代入直线方程，得 2124111    解得 1 3  . ∴所求圆的方程为 22:310Cxyxy . 20．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线 4 2 0xy   相切． （1）求圆 的方程； （2）点 P 在直线 8x  上，过 点引圆 的两条切线 ,P A P B ，切点为 ,AB，求证：直线 AB 恒过定 点． 【解析】（1）根据题意得：圆心 (0 ,0 ) 到直线 420xy 的距离 dr ， ∴ 42 4 11 dr  ， ∴圆 的方程为： 2216xy． （ 2 ）连接 OA ，OB ， ∵ PA ， PB 是圆 的两条切线，∴OA AP ，OBBP ， ∴ A ， B 在以 OP 为直径的圆上， 设点 的坐标为(8, )b ，bR ，则线段 的中点坐标为 4, 2 b  ， ∴以 为直径的原方程为： 22 22( 4) 422 bbxy              ， ， 化简得： 2280xyxby ， b  R ， ∵ AB 为圆 2216xy和 的公共弦， ∴直线 的方程为： 8 1 6x b y， ， 即 8 ( 2 ) 0x b y   ， ∴直线 恒过定点 (2 ,0 ) ． 21．已知直线 :l y kx 与圆  2 2 1 : 1 1C x y   相交于 ,AB两点， 2C 与圆 1C 相外切，且与直线l 相切于 点  3, 3M （1）求 k 的值，并求 的长； （2）求圆 的方程. 【解析】（1）直线 经过点 ，所以 33k ，得 3 3k  . 圆 的圆心为  1 1 ,0C ，半径为 1，直线 :330lxy ， 点 到直线 的距离 31 239 d   所以 2 2 12 1 32AB    . （2）设过点 M 作与直线 垂直的直线 1l ， 的方程是  3 3 3yx    ，即 343yx  . 设  2 ,343Caa  ，又 ， 圆 与圆 相外切，且与直线 相切于点 ， 所以 122 1C CMC 即        22221 3 4 3 1 3 3 4 3 3a a a a           ， 化简得 2 40aa，解得 4a  或 0a  . 当 时，  2 4,0C ，半径为    224 3 0 3 2r     ， 2 :C   2 244xy   ， 当 0a  时，  2 0,4 3C ，半径为     22034336r  ，  22 4 3 36xy   . 22．如图，在平面直角坐标系 x O y 中，已知圆 M ： 2248120xyxy ，过点 O 及点  2 ,0A  的 圆 N 与圆 外切. （1）求圆 的标准方程； （2）若过点 A 的直线 l 被两圆截得的弦长相等，求直线 的方程； （3）直线 MN 上是否存在点 B ，使得过点 分别作圆 与圆 的切线，切点分别为 P ，Q (不重合)， 满足 2BQBP ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意知，圆 的圆心 在直线 1x  上，设 (1,)Nb ，半径为 r ， 因为圆 与圆 外切，且圆 的圆心 (2 ,4 )M ，半径为 22， 所以 22(2 ( 1)) (4 ) 2 2MN b r       ， 即 229(4)(22)br ① 又 22(1)ONbr ，即 221 br② 由①得， 4 2 2br ，代入②得， 2 8 7 0bb   ， 解得 1b  或 7b  (舍)，所以 2r  ， 故所求圆 的标准方程为 22( 1) ( 1) 2xy    . （2）当 的斜率不存在时， 的方程为： 2x  ，与圆 相离，不符合题意. 当 的斜率存在时，设为 k ，故 的方程为 ( 2)y k x， 则圆心 M 到直线 l 的距离为： 1 2 44 1 kd k -= + ；圆心 N 到直线 的距离为： 2 2 1 1 kd k -= + ， 因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方， 又 被两圆截得的弦长相等， 所以 22 22 ( 1) (4 4)2811 kk kk    ， 即 23 1 0 3 0kk   ，解得 3k  或 1 3k  ， 故直线 的方程为 3 6 0xy   或 3 2 0xy   . （3）设 ( , )B x y ，由 2B Q B P 可知， 224BQ BP ， 即 2224(8)BNBM ，所以 224 30BN BM， 即 2222(1)(1)4[(2)(4)]30xyxy ， 整理得 22(3)(5)18xy ①， 又直线 MN 的方程为 20xy②， 由①②联立解得， 0x  ， 2y  或 6x  ， 8y  ， 由 P ， Q 两点不重合，故 ， 不合题意，舍去， 故存在点 (6 ,8 )B 符合题意.