【数学】2020届一轮复习人教A版复数作业 4页

‎2020届一轮复习人教A版 复数 作业 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.计算:i(1+i)2=(　　)‎ A.-2 B.2 C.2i D.-2i 解析:i(1+i)2=i·2i=-2.‎ 答案:A ‎2.在复平面内,复数‎2-i‎1+i(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 解析:‎2-i‎1+i‎=‎‎1-3i‎2‎,其共轭复数为‎1+3i‎2‎,对应的点位于第一象限,故选D.‎ 答案:D ‎3.若z=4+3i(i是虚数单位),则z‎|z|‎=(　　)‎ A.1 B.-1‎ C.‎4‎‎5‎‎+‎‎3‎‎5‎i D.‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎5‎i 解析:z‎|z|‎‎=‎‎4-3i‎5‎,故选D.‎ 答案:D ‎4.若i是虚数单位,则‎1+i‎1-i‎4‎等于(　　)‎ A.i B.-i C.1 D.-1‎ 解析:因为‎1+i‎1-i‎=‎(1+i‎)‎‎2‎‎(1-i)(1+i)‎=‎‎2i‎2‎=i,所以‎1+i‎1-i‎4‎=i4=1.‎ 答案:C ‎5.复数z=a(a+2)‎a-1‎+(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则a的值为(　　)‎ A.a=0 B.a=0且a≠-1‎ C.a=0或a=-2 D.a≠1或a≠-3‎ 解析:依题意得a(a+2)‎a-1‎‎=0,‎a‎2‎‎+2a-3≠0,‎解得a=0或a=-2.‎ 答案:C ‎6.设复数z=a+i‎1+i‎2‎,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎i C.-‎3‎‎2‎ D.-‎3‎‎2‎i 解析:z=a+i‎1+i‎2‎‎=a‎2‎‎-1+2ai‎2i=‎‎2a-(a‎2‎-1)i‎2‎=a-a‎2‎‎-1‎‎2‎i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-‎2‎‎2‎‎-1‎‎2‎=-‎3‎‎2‎.‎ 答案:C ‎7.“m=1”是“复数z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,则z=2i为纯虚数;若z为纯虚数,则m=1.‎ 答案:C ‎8.已知z1=1+i(其中i为虚数单位),设z‎1‎为复数z1的共轭复数,‎1‎z‎2‎‎=‎1‎z‎1‎+‎‎1‎z‎1‎,则复数z2在复平面所对应点的坐标为(　　)‎ A.(0,1) B.(1,0)‎ C.(0,2) D.(2,0)‎ 解析:因为z1=1+i,所以z=1-i,‎ 由‎1‎z‎2‎‎=‎1‎z‎1‎+‎‎1‎z‎1‎得,‎1‎z‎2‎‎=‎1‎‎1+i+‎1‎‎1-i=‎1-i‎(1+i)(1-i)‎+‎1+i‎(1+i)(1-i)‎=‎‎1+i+1-i‎2‎=1,‎ 得z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选B.‎ 答案:B ‎9.若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ 解析:z2=(cos θ+isin θ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1,所以sin2θ=0,‎cos2θ=-1,‎所以2θ=2kπ+π(k∈Z),故θ=kπ+π‎2‎(k∈Z),令k=0知选D.‎ 答案:D ‎10.复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点,按逆时针方向旋转π‎2‎,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到B点,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为(　　)‎ A.-1 B.1 C.i D.-i 解析:设z=a+bi,B点对应的复数为z1,则z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以‎-b-1=-a,‎a-1=-b,‎故a=1,‎b=0,‎于是z=1.‎ 答案:B ‎11.设z∈C,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在(　　)‎ A.实轴上 B.虚轴上 C.直线y=±x(x≠0)上 D.以上都不对 解析:设z=a+bi(a,b∈R),因为z2=a2-b2+2abi为纯虚数,所以a‎2‎‎-b‎2‎=0,‎ab≠0,‎所以a=±b,即z在复平面上的对应点在直线y=±x(x≠0)上.‎ 答案:C ‎12.复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 解析:因为|z|=2,所以‎(x-2‎)‎‎2‎+‎y‎2‎=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+yi|=x‎2‎‎+‎y‎2‎,它表示点(x,y)到原点的距离,结合图形易知|z+2|的最大值为4,故选B.‎ 答案:B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若z‎1-i‎=‎‎1+ii(i为虚数单位),则复数z等于　　　　　. ‎ 解析:因为z‎1-i‎=‎‎1+ii,所以z=‎(1-i)(1+i)‎i‎=‎2‎i=‎‎2ii‎2‎=-2i.‎ 答案:-2i ‎14.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=.‎ 解析:由题意得-2a+i=1-bi,所以‎-2a=1,‎‎1=-b,‎解得a=-‎1‎‎2‎,b=-1,所以|a+bi|=‎-‎1‎‎2‎-i‎=‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎.‎ 答案:‎‎5‎‎2‎ ‎15.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则|AB|=　　　　　. ‎ 解析:　AB‎=OB-‎OA=(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,‎ 所以|AB|=2‎2‎.‎ 答案:2‎‎2‎ ‎16.导学号40294030若复数z满足zz+z+z=3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于　　　　　. ‎ 解析:设z=x+yi(x,y∈R),则有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于π·22=4π.‎ 答案:4π 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知复数z=(2+i)m2-‎6m‎1-i-2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:‎ ‎(1)虚数;‎ ‎(2)纯虚数.‎ 解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,‎ ‎(1)当m2-3m+2≠0,‎ 即m≠2且m≠1时,z为虚数.‎ ‎(2)当‎2m‎2‎-3m-2=0,‎m‎2‎‎-3m+2≠0,‎ 即m=-‎1‎‎2‎时,z为纯虚数.‎ ‎18.(本小题满分12分)若z满足z-1=‎3‎(1+z)i,求z+z2的值.‎ 解:因为z-1=‎3‎(1+z)i,‎ 所以z=‎1+‎3‎i‎1-‎3‎i‎=‎‎(1+‎3‎i‎)‎‎2‎‎(1-‎3‎i)(1+‎3‎i)‎=-‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎i,‎ 因此z+z2=-‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎i+‎-‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎i‎2‎=-‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎i+‎-‎1‎‎2‎-‎3‎‎2‎i=-1.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.‎ ‎(1)求复数z的共轭复数;‎ ‎(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,‎ 所以复数z的共轭复数为-2-4i.‎ ‎(2)w=-2+(4+a)i,复数w对应的向量为(-2,4+a),其模为‎4+(4+a‎)‎‎2‎‎=‎‎20+8a+‎a‎2‎.‎ 又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2‎5‎.‎ 由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,得20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,‎ 所以实数a的取值范围是-8≤a≤0.‎ ‎20.(本小题满分12分)复数z=‎(1+i‎)‎‎2‎+3(1-i)‎‎2+i,若z2+az<0,求纯虚数a.‎ 解:由z2+az<0可知z2+az是实数且为负数.‎ z=‎(1+i‎)‎‎2‎+3(1-i)‎‎2+i‎=‎2i+3-3i‎2+i=‎‎3-i‎2+i=1-i.‎ 因为a为纯虚数,所以设a=mi(m∈R,且m≠0),‎ 则z2+az=(1-i)2+mi‎1-i=-2i+mi-m‎2‎=-m‎2‎‎+‎m‎2‎‎-2‎i<0,‎ 故‎-m‎2‎<0,‎m‎2‎‎-2=0,‎所以m=4,即a=4i.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.‎ 解:设z=x+yi(x,y∈R),‎ 因为OA∥BC,|OC|=|BA|,‎ 所以kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,‎ 即‎2‎‎1‎‎=y-6‎x+2‎,‎x‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎,‎ 解得x‎1‎‎=-5,‎y‎1‎‎=0‎或x‎2‎‎=-3,‎y‎2‎‎=4.‎ 因为|OA|≠|BC|,‎ 所以x2=-3,y2=4(舍去),‎ 故z=-5.‎ ‎22.导学号40294031(本小题满分12分)已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.‎ ‎(1)求|z|.‎ ‎(2)是否存在实数m,使zm‎+‎mz为实数,若存在,求出m值;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)若(1-2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数z.‎ 解:(1)设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),‎ 则(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2,‎ 化简得x2+y2=25,∴|z|=5.‎ ‎(2)∵zm‎-mz=x+yim+mx+yi=xm‎+‎mxx‎2‎‎+‎y‎2‎+‎ym‎-‎myx‎2‎‎+‎y‎2‎i为实数,∴ym‎-‎myx‎2‎‎+‎y‎2‎=0.‎ 又∵y≠0,x2+y2=25,‎ ‎∴‎1‎m‎-‎m‎25‎=0,解得m=±5.‎ ‎(3)(1-2i)z=(1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i,依题意得x+2y=y-2x,‎ ‎∴y=-3x.①‎ 又∵x2+y2=25,②‎ 由①②得x=‎10‎‎2‎,‎y=-‎‎3‎‎10‎‎2‎或x=-‎10‎‎2‎,‎y=‎3‎‎10‎‎2‎,‎ ‎∴z=‎10‎‎2‎‎-‎‎3‎‎10‎‎2‎i或z=-‎10‎‎2‎‎+‎‎3‎‎10‎‎2‎i.‎