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- 2021-06-16 发布
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[基础达标]
1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )
A.- B.-1
C.- D.-
解析:选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k==-.
2.已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是( )
A.x2=2y B.x2=y
C.x2=y D.x2=y
解析:选A.由题意得,F,不妨设A,B(-p,-),所以S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.
3.(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l,则点A的位置( )
A.在C开口内 B.在C上
C.在C开口外 D.与p值有关
解析:选B.设B,由已知有AB中点的横坐标为,则A,△ABF是边长|AB|=2p的等边三角形,即|AF|= =2p,所以p2+m2=4p2,所以m=±p,所以A,代入y2=2px中,得点A在抛物线C上,故选B.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.|FP1|+|FP3|=2|FP2|
D.|FP1|·|FP3|=|FP2|2
解析:选C.根据抛物线的定义知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,
所以|FP1|+|FP3|=+=(x1+x3)+p=2x2+p=2=2|FP2|.
5. 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
解析:选C.F(1,0),直线AF:y=(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=.
由于点A在x轴上方且直线的斜率为,所以其坐标为(3,2).
因为|AF|=|AK|=3+1=4,AF的斜率为,即倾斜角为60°,所以∠KAF=60°,
所以△AKF为等边三角形,
所以△AKF的面积为×42=4.
6.(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Г交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cos α的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l:x=-.
如图所示,分别过点A,B作AM⊥l,BN⊥l,垂足分别为M,N.
在三角形ABC中,∠BAC等于直线AB的倾斜角α,
由=m,|AF|=m|BF|,|AB|=|AF|+|BF|=(m+1)|BF|,
根据抛物线的定义得:|AM|=|AF|=m|BF|,|BN|=|BF|,
所以|AC|=|AM|-|MC|=m|BF|-|BF|=(m-1)|BF|,
在直角三角形ABC中,cos α=cos ∠BAC===,故选A.
7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为________.
解析:设M(xM,yM),由抛物线定义可得|MF|=xM+=2p,解得xM=,代入抛物线方程可得yM=±p,则直线MF的斜率为==±.
答案:±
8.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),○·M的方程为x2+y2+8x+12=0,如果抛物线C的准线与○·M相切,那么p的值为________.
解析:将○·M的方程化为标准方程:(x+4)2+y2=4,圆心坐标为(-4,0),半径r=2,又因为抛物线的准线方程为x=-,所以=2,p=12或4.
答案:12或4
9.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为________.
解析:由题意得抛物线与圆不相交,
且圆的圆心为A(3,0),
则|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1,
当且仅当P,Q,A三点共线时取等号,
所以当|PA|取得最小值时,|PQ|最小.
设P(x0,y0),则y=x0,|PA|=== ,当且仅当x0=时,|PA|取得最小值,此时|PQ|取得最小值-1.
答案:-1
10.(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),焦点为F.
(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程;
(2)P是抛物线上一动点,M是PF的中点,求M的轨迹方程.
解:(1)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),设抛物线解析式为y2=2px,把(4,4)代入,得16=2×4p,所以p=2,
所以抛物线标准方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).
(2)设M(x,y),P(x0,y0),F(1,0),M是PF的中点,则x0+1=2x,0+y0=2y,
所以x0=2x-1,y0=2y,
因为P是抛物线上一动点,所以y=4x0,
所以(2y)2=4(2x-1),化简得y2=2x-1.
所以M的轨迹方程为y2=2x-1.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,
于是4+=5,所以p=2.
所以抛物线方程为y2=4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4),
由题意得B(0,4),M(0,2).
又因为F(1,0),所以kFA=,
因为MN⊥FA,所以kMN=-.
又FA的方程为y=(x-1),①
MN的方程为y-2=-x,②
联立①②,解得x=,y=,
所以点N的坐标为.
[能力提升]
1.(2019·台州书生中学月考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )
A. B.1
C. D.2
解析:选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,连接AF、BF,由抛物线的定义知|MN|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|),在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|·cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|.
所以=·
=
=≤×=,
当且仅当|AF|=|BF|时取等号,所以的最大值为.
2.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3
C. D.
解析:选B.设A(x1,),B(x2,-),
则S△AFO=×=.
由·=2得x1x2-=2,
即x1x2--2=0,解得x1x2=4,
所以(||·||)2=(x+x1)(x+x2)
=xx+x1x2·(x1+x2)+x1x2
=20+4(x1+x2),
因为cos∠AOB=,
所以sin∠AOB=
=.
所以S△AOB=||||sin∠AOB
=||||
=
==
==+,
所以S△ABO+S△AFO=+≥2=3,当=,即x1=时等号成立.
3.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD
的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.
解析:依题知C,F,因为点C,F在抛物线上,所以两式相除得-2-1=0,解得=1+或=1-(舍).
答案:1+
4.(2019·台州市高考模拟)如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则||=________.
解析:
分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则DF=p=2,由抛物线的定义可知FB=BB1,AF=AA1,
因为=4,所以==,
所以FB=BB1=.
所以FC=4FB=6,
所以cos ∠DFC==,
所以cos ∠A1AC===,解得AF=3,
所以AB=AF+BF=3+=.
答案:
5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点.
(1)当|PF|=2时,求点P的坐标;
(2)求点P到直线y=x-10的距离的最小值.
解:(1)由抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点,
故设P(a>0),
因为|PF|=2,结合抛物线的定义得+1=2,
所以a=2,所以点P的坐标为(2,1).
(2)设点P的坐标为P(a>0),
则点P到直线y=x-10的距离为=.
因为-a+10=(a-2)2+9,
所以当a=2时,-a+10取得最小值9,
故点P到直线y=x-10的距离的最小值为.
6.(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.
(1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标;
(2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.
解:(1)因为A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以p=2.所以抛物线方程为y2=4x.
设C,则由kAB·kAC=-1,即·=-1,解得t=6,即C(9,6).
(2)设A(x0,y0),B,C,则y=2px0,
直线BC的方程为=,即(y1+y2)y=2px+y1y2,由kAB·kAC=
·=-1,
得y0(y1+y2)+y1y2+y=-4p2,
与直线BC的方程联立,化简,得(y1+y2)(y+y0)=2p(x-2p-x0),
故直线BC恒过点E(x0+2p,-y0).
因此直线AE的方程为y=-(x-x0)+y0,
代入抛物线的方程y2=2px(p>0),
得点D的坐标为.
因为线段AD总被直线BC平分,
所以
解得x0=,y0=±p,
即点A的坐标为.