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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届浙江一轮复习通用版9-7抛物线作业

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‎ [基础达标]‎ ‎1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )‎ A.- B.-1‎ C.- D.- 解析:选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k==-.‎ ‎2.已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是(  )‎ A.x2=2y B.x2=y C.x2=y D.x2=y 解析:选A.由题意得,F,不妨设A,B(-p,-),所以S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.‎ ‎3.(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l,则点A的位置(  )‎ A.在C开口内 B.在C上 C.在C开口外 D.与p值有关 解析:选B.设B,由已知有AB中点的横坐标为,则A,△ABF是边长|AB|=2p的等边三角形,即|AF|= =2p,所以p2+m2=4p2,所以m=±p,所以A,代入y2=2px中,得点A在抛物线C上,故选B.‎ ‎4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(  )‎ A.|FP1|+|FP2|=|FP3|‎ B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2‎ C.|FP1|+|FP3|=2|FP2|‎ D.|FP1|·|FP3|=|FP2|2‎ 解析:选C.根据抛物线的定义知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,‎ 所以|FP1|+|FP3|=+=(x1+x3)+p=2x2+p=2=2|FP2|.‎ ‎5. 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )‎ A.4 B.3 C.4 D.8‎ 解析:选C.F(1,0),直线AF:y=(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,‎ 解得x=3或x=.‎ 由于点A在x轴上方且直线的斜率为,所以其坐标为(3,2).‎ 因为|AF|=|AK|=3+1=4,AF的斜率为,即倾斜角为60°,所以∠KAF=60°,‎ 所以△AKF为等边三角形,‎ 所以△AKF的面积为×42=4.‎ ‎6.(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Г交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cos α的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l:x=-.‎ 如图所示,分别过点A,B作AM⊥l,BN⊥l,垂足分别为M,N.‎ 在三角形ABC中,∠BAC等于直线AB的倾斜角α,‎ 由=m,|AF|=m|BF|,|AB|=|AF|+|BF|=(m+1)|BF|,‎ 根据抛物线的定义得:|AM|=|AF|=m|BF|,|BN|=|BF|,‎ 所以|AC|=|AM|-|MC|=m|BF|-|BF|=(m-1)|BF|,‎ 在直角三角形ABC中,cos α=cos ∠BAC===,故选A.‎ ‎7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为________.‎ 解析:设M(xM,yM),由抛物线定义可得|MF|=xM+=2p,解得xM=,代入抛物线方程可得yM=±p,则直线MF的斜率为==±.‎ 答案:± ‎8.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),○·M的方程为x2+y2+8x+12=0,如果抛物线C的准线与○·M相切,那么p的值为________.‎ 解析:将○·M的方程化为标准方程:(x+4)2+y2=4,圆心坐标为(-4,0),半径r=2,又因为抛物线的准线方程为x=-,所以=2,p=12或4.‎ 答案:12或4‎ ‎9.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为________.‎ 解析:由题意得抛物线与圆不相交,‎ 且圆的圆心为A(3,0),‎ 则|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1,‎ 当且仅当P,Q,A三点共线时取等号,‎ 所以当|PA|取得最小值时,|PQ|最小.‎ 设P(x0,y0),则y=x0,|PA|=== ,当且仅当x0=时,|PA|取得最小值,此时|PQ|取得最小值-1.‎ 答案:-1‎ ‎10.(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),焦点为F.‎ ‎(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,M是PF的中点,求M的轨迹方程.‎ 解:(1)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),设抛物线解析式为y2=2px,把(4,4)代入,得16=2×4p,所以p=2,‎ 所以抛物线标准方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).‎ ‎(2)设M(x,y),P(x0,y0),F(1,0),M是PF的中点,则x0+1=2x,0+y0=2y,‎ 所以x0=2x-1,y0=2y,‎ 因为P是抛物线上一动点,所以y=4x0,‎ 所以(2y)2=4(2x-1),化简得y2=2x-1.‎ 所以M的轨迹方程为y2=2x-1.‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.‎ 解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,‎ 于是4+=5,所以p=2.‎ 所以抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4,4),‎ 由题意得B(0,4),M(0,2).‎ 又因为F(1,0),所以kFA=,‎ 因为MN⊥FA,所以kMN=-.‎ 又FA的方程为y=(x-1),①‎ MN的方程为y-2=-x,②‎ 联立①②,解得x=,y=,‎ 所以点N的坐标为.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.(2019·台州书生中学月考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN,垂足为N,则的最大值为(  )‎ A. B.1‎ C. D.2‎ 解析:选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,连接AF、BF,由抛物线的定义知|MN|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|),在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|·cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|.‎ 所以=· ‎= ‎=≤×=,‎ 当且仅当|AF|=|BF|时取等号,所以的最大值为.‎ ‎2.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3‎ C. D. 解析:选B.设A(x1,),B(x2,-),‎ 则S△AFO=×=.‎ 由·=2得x1x2-=2,‎ 即x1x2--2=0,解得x1x2=4,‎ 所以(||·||)2=(x+x1)(x+x2)‎ ‎=xx+x1x2·(x1+x2)+x1x2‎ ‎=20+4(x1+x2),‎ 因为cos∠AOB=,‎ 所以sin∠AOB= ‎=.‎ 所以S△AOB=||||sin∠AOB ‎=|||| ‎= ‎== ‎==+,‎ 所以S△ABO+S△AFO=+≥2=3,当=,即x1=时等号成立.‎ ‎3.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD 的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.‎ 解析:依题知C,F,因为点C,F在抛物线上,所以两式相除得-2-1=0,解得=1+或=1-(舍).‎ 答案:1+ ‎4.(2019·台州市高考模拟)如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则||=________.‎ 解析:‎ 分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则DF=p=2,由抛物线的定义可知FB=BB1,AF=AA1,‎ 因为=4,所以==,‎ 所以FB=BB1=.‎ 所以FC=4FB=6,‎ 所以cos ∠DFC==,‎ 所以cos ∠A1AC===,解得AF=3,‎ 所以AB=AF+BF=3+=.‎ 答案: ‎5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点.‎ ‎(1)当|PF|=2时,求点P的坐标;‎ ‎(2)求点P到直线y=x-10的距离的最小值.‎ 解:(1)由抛物线x2=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点,‎ 故设P(a>0),‎ 因为|PF|=2,结合抛物线的定义得+1=2,‎ 所以a=2,所以点P的坐标为(2,1).‎ ‎(2)设点P的坐标为P(a>0),‎ 则点P到直线y=x-10的距离为=.‎ 因为-a+10=(a-2)2+9,‎ 所以当a=2时,-a+10取得最小值9,‎ 故点P到直线y=x-10的距离的最小值为.‎ ‎6.(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.‎ ‎(1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标;‎ ‎(2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.‎ 解:(1)因为A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以p=2.所以抛物线方程为y2=4x.‎ 设C,则由kAB·kAC=-1,即·=-1,解得t=6,即C(9,6).‎ ‎(2)设A(x0,y0),B,C,则y=2px0,‎ 直线BC的方程为=,即(y1+y2)y=2px+y1y2,由kAB·kAC= ‎·=-1,‎ 得y0(y1+y2)+y1y2+y=-4p2,‎ 与直线BC的方程联立,化简,得(y1+y2)(y+y0)=2p(x-2p-x0),‎ 故直线BC恒过点E(x0+2p,-y0).‎ 因此直线AE的方程为y=-(x-x0)+y0,‎ 代入抛物线的方程y2=2px(p>0),‎ 得点D的坐标为.‎ 因为线段AD总被直线BC平分,‎ 所以 解得x0=,y0=±p,‎ 即点A的坐标为.‎