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- 2021-06-16 发布
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[基础达标]
1.(2019·浙江省名校联考)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
-74
24.5
-36.7
-123.6
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析:选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
2.(2019·温州十校联考(一))设函数f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:选B.法一:因为f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,所以f(1)·f(2)<0,因为函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
法二:函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的区间,作出两函数的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).
3.已知函数f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.
作出g(x)=与h(x)=cos x的图象如图所示,可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.
4.已知函数f(x)=-tan x,若实数x0是函数y=f(x)的零点,且0f(x0)=0.故选B.
5.(2019·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )
A. B.
C.- D.-
解析:选C.因为函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,所以方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个实数根,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0⇔f(2x2+1)=-f(λ-x)⇔f(2x2+1)=f(x-λ)⇔2x2+1=x-λ,所以方程2x2-x+1+λ=0只有一个实数根,所以Δ=(-1)2-4×2×(1+λ)=0,解得 λ=-.故选C.
6.(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)=-kx2(k∈R)有四个不同的零点,则实数k的取值范围是( )
A.k<0 B.k<1
C.01
解析:选D.分别画出y=与y=kx2的图象如图所示,
当k<0时,y=kx2的开口向下,此时与y=只有一个交点,显然不符合题意;
当k=0时,此时与y=只有一个交点,显然不符合题意,
当k>0,x≥0时,
令f(x)=-kx2=0,
即kx3+2kx2-x=0,
即x(kx2+2kx-1)=0,
即x=0或kx2+2kx-1=0,
因为Δ=4k2+4k>0,且-<0,所以方程有一正根,一负根,所以当x>0时,方程有唯一解.即当x≥0时,方程有两个解.
当k>0,x<0时,f(x)=-kx2=0,
即kx3+2kx2+x=0,kx2+2kx+1=0,
此时必须有两个解才满足题意,所以Δ=4k2-4k>0,解得k>1,
综上所述k>1.
7.(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f(x)=,则f(f(e))=________,函数y=f(x)-1的零点为________.
解析:因为f(x)=,
所以f(e)=ln e=1,
f(f(e))=f(1)=tan 0=0,
若01,f(x)=1⇒ln x=1⇒x=e.
答案:0 e
8.已知函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为________.
解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.
答案:-
9.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-的零点所构成的集合为________.
解析:令g(x)=0,得f(x)=,所以或解得x=-1或x=或x=,故函数g(x)=f(x)-的零点所构成的集合为.
答案:
10.(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有2个零点,则实数a的取值范围为________.
解析:函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有2个零点即函数y=|x3-4x|与y=2-ax
的图象有2个不同的交点.作出函数y=|x3-4x|的图象如图,当直线y=2-ax与曲线y=-x3+4x,x∈[0,2]相切时,设切点坐标为(x0,-x+4x0),则切线方程为y-(-x+4x0)=(-3x+4)(x-x0),且经过点(0,2),代入解得x0=1,此时a=-1,由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<-1或a>1.
答案:a<-1或a>1
11.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3和-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得00时,有3个零点;当k<0时,有4个零点
B.当k>0时,有4个零点;当k<0时,有3个零点
C.无论k为何值,均有3个零点
D.无论k为何值,均有4个零点
解析:选C.令f[f(kx)+1]+1=0得,
或,
解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=;
由f(kx)+1=0得,
或;
即x=0或kx=;
由f(kx)+1=得,
或;
即ekx=1+(无解)或kx=e-1;
综上所述,x=0或kx=或kx=e-1;
故无论k为何值,均有3个解,故选C.
2.(2019·宁波市高三教学评估)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a>0),则“f<0”是“f(x)与f(f(x))都恰有两个零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.由已知a>0,函数f(x)开口向上,f(x)有两个零点,最小值必然小于0,当取得最小值时,x=-,即f<0,令f(x)=-,则f(f(x))=f,因为f<0,所以f(f(x))<0,所以f(f(x))必有两个零点.同理f<0⇒f<0⇒x=-,因为x=-是对称轴,a>0,开口向上,f<0,必有两个零点所以C选项正确.
3.(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2+|x-a|<2至少有一个正数解,则实数a的取值范围是________.
解析:不等式为
2-x2>|x-a|,则0<2-x2.
在同一坐标系画出y=2-x2(y≥0,x≥0)和y=|x|两个函数图象,将绝对值函数y=|x|向左移动,当右支经过(0,2)点时,a=-2;将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x2(y≥0,x≥0)相切时,
由,可得x2-x+a-2=0,
再由Δ=0解得a=.
数形结合可得,实数a的取值范围是.
答案:
4.已知函数f(x)=,g(x)=logx,记函数h(x)=则函数F(x)=h(x)+x-5的所有零点的和为________.
解析:由题意知函数h(x)的图象如图所示,易知函数h(x)的图象关于直线y=x对称,函数F(x)所有零点的和就是函数y=h(x)与函数y=5-x图象交点横坐标的和,设图象交点的横坐标分别为x1,x2,因为两函数图象的交点关于直线y=x对称,所以=5-,所以x1+x2=5.
答案:5
5.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解:(1)法一:因为g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e,
故g(x)的值域是[2e,+∞),
因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.
所以m的取值范围是[2e,+∞).
法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图:
可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e,即m的取值范围是[2e,+∞).
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.
因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.
所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,
最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
6.(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)=x|x-a|+bx.
(1)当a=2,且f(x)是R上的增函数,求实数b的取值范围;
(2)当b=-2,且对任意a∈(-2,4),关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.
解:(1)f(x)=x|x-2|+bx=,
因为f(x)连续,
所以f(x)在R上递增等价于这两段函数分别递增,
所以,解得,b≥2.
(2)f(x)=x|x-a|-2x=,
tf(a)=-2ta,
当2≤a<4时,<≤a,
f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
所以f(x)极大值=f=-a+1,
f(x)极小值=f(a)=-2a,
所以对2≤a<4恒成立,解得0