2013-2017高考数学分类汇编-文科 第三章导数 第2节 导数的应用(1) 18页

第三章 ‎ 导数 第2节 导数的应用 题型36 利用导数研究函数的单调性 ‎1.（2013湖北文21） 设，，已知函数．‎ ‎（1） 当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2） 当时，称为，关于的加权平均数．‎ ‎（i）判断，，是否成等比数列，并证明；‎ ‎ (ii)，的几何平均数记为．称为，的调和平均数，记为. 若，求的取值范围．‎ 1. 分析 （1）利用导数通过分类讨论求解；（2）①用等比中项证明成 ‎ 等比数列；②通过函数的单调性求解.‎ 解析 （1）定义域为，.‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，，函数在上单调递减.‎ ‎（2）①计算得，‎ 故 ①‎ 所以成等比数列.‎ 因为，即.由①得.‎ ‎②由①知，故，‎ 得 ②‎ 当时，.这时，的取值范围为；‎ 当，时，从而，由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为；‎ 当时，，从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为.‎ ‎2.(2013广东文21）设函数．‎ ‎(1) 当，求函数的单调区间；‎ ‎(2) 当，求函数在上的最小值和最小值．‎ ‎2.分析 （1）求函数的单调区间，就是求不等式和的解集.（2）函数 是一个三次函数，其导数为二次函数，因为不确定，故需要讨论判别式的符号，‎ 在时，通过表格列出函数在闭区间上的变化情况，比较区间商战的函数值和 极值的大小确定最值.‎ ‎ 解析 （1）当时，，‎ 因为，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故函数的单调递增区间为，函数没有单调递减区间.‎ ‎（2）当时，.‎ ‎①当时，，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故.‎ ‎②当时，，由可求得方程的两个根为 ‎，‎ 因为（可以利用一元二次方程根与系数的关系进行判断：‎ ‎，从而），所以由可得，由可得，所以，随的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 所以.‎ 因为，所以，所以.‎ 又因为，‎ ‎（其中 ‎）所以，所以.‎ 综上所述，，.‎ ‎3.（2013山东文21）. 已知函数． ‎ ‎（1）设，求的单调区间；‎ ‎（2）设，且对任意，，试比较与的大小．‎ ‎3.分析 （1）求的单调区间，需要对求导，当时，是增函数，‎ 当 时，是减函数，但是需要对参数和进行讨论.（2）的最小值 为，当有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解.‎ 解析 （1）由，得.‎ ‎①当时，.‎ a.若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是.‎ b.若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎②当时，令，得.由，得 ‎.显然，.‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增.‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ 综上所述，当时，函数的单调递减区间是；‎ 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 当时，函数的单调递减区间是,单调递增区间是.‎ ‎（2）由题意知函数在处取得最小值.‎ 由（1）知是的唯一极最小点，故.整理，得，即.令，则.‎ 令，得.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.‎ 因此.故，即，‎ 即.‎ ‎4. （2013四川文21）已知函数，其中是实数.设，为该函数图象上的两点，且.‎ ‎（1）指出函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；‎ ‎（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.‎ ‎4.分析 第（1）问直线由二次函数、对数函数的图象求解；第（2）问由导数的几何意义知 ‎，并借助基本不等式求解；第（3）问中两直线重合的充要条件是两直 线方程系数成比例，求时需先分离出，再进一点利用导数求函数值域.‎ 解析 （1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（2）证明：由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为.故当点处的切线与点处的切线垂直时，有.因为，，所以.当时，对函数求导，得.‎ 因为，，所以，.‎ 因此 ‎（当且仅当，即且时等号成立）‎ 所以，函数的图象在点处的切线互相垂直时，有.‎ ‎（3）当或时，，故.‎ 当时，函数的图象在点处的切线方程为 ‎，即.‎ 当时，函数的图象在点处的切线方程为，即.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及知.‎ 由①②得.‎ 令，则，且.‎ 设，则.‎ 所以为减函数.则，所以.而当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是.‎ ‎5. (2013湖南文21）已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，. ‎ ‎5.分析 （1）求出函数的导数，解关于导数的不等式求得其单调区间.（2）根据函数的单调 性及函数值的秸，设出有大小的两个值，通过与的大小，将问题转化 为与的大小，从而得出结论.‎ 解析 （1）函数的定义域为.‎ ‎.‎ 当时，；当时，.‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）证明：当时，由于，故；同理，当时，.当时，不妨设，由（1）知，.下面证明：，即证.此不等式等价于.‎ 令，则.‎ 当时，，单调递减，从而，即.‎ 所以.而，所以，从而.由于在上单调递增，所以，即.‎ ‎6.（2014新课标Ⅱ文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎7.（2014山东文20）（本小题满分13分）‎ 设函数 ，其中a为常数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎8.（2014江西文18）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，其中.‎ ‎ （1）当时，求的单调递增区间；‎ ‎ （2）若在区间上的最小值为，求的值.‎ ‎9．（2014湖北文21）（本小题满分14分）‎ 为圆周率，为自然对数的底数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求，，，，，这个数中的最大数与最小数.‎ 10. ‎（2014江苏19（1））已知函数．试讨论的单调性.‎ ‎10.解析 由题意，，‎ 当，即时，对恒成立，‎ 故的单调递增区间为；‎ 当，即时，‎ 令，则或，‎ 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当，即时，‎ 令，则或，‎ 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．‎ ‎11.（2015安徽文10）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11. 解析 令，可得.又，由函数图像的单调性，可知.由图可知，是的两根，且，.‎ 所以，得.故选A.‎ ‎12.（2016山东文20）设，.‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.‎ ‎12.C 解析 问题转化为对恒成立，‎ 故，即恒成立.‎ 令，得对恒成立.‎ 解法一：构造，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得.故选C.‎ 解法二：①当时，不等式恒成立；‎ ②当时，恒成立，由在上单调递增，‎ 所以，故；‎ ③当时，恒成立.由在上单调递增，‎ ‎，所以.‎ 综上可得，.故选C.‎ 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C选项.这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A选项.此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A，B，D.故选C. ‎ ‎13.（2016天津文20）设函数，，其中.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.‎ ‎13.解析 （1）由 可得，‎ 则，‎ 当时，时，，函数单调递增；当时，当 时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.‎ 综上所述，当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎①当时， 单调递增.‎ 所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.‎ 所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，由（1）知在内单调递增，‎ 可得当时，，时，，‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时，， 单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即 ，当时，，单调递增,‎ 当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ ‎14.（2016全国乙文12）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎14.解析 （1）由，可得，下面分两种情况讨论：‎ ①当时，有恒成立，所以在上单调递增.‎ ②当时，令，解得或.‎ 当变化时，，的变化情况如表所示.‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.‎ 由题意得，即，所以.‎ 又，且，‎ 由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.‎ ‎（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：‎ ‎①当时，由知在区间上单调递减，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎，所以 ‎ ②当时，，‎ 由（1）和（2） 知，，‎ 所以在区间上的取值范围为，‎ 所以 ‎.‎ ‎ ③当时，，‎ 由（1）和（2）知，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ ‎15.（2017全国1文21）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎15.解析 （1）.‎ ①当时，恒成立，所以在上单调递增；‎ ②当时，恒成立，令，则，‎ 故，所以在上单调递增，在上单调递减；‎ ③当时，恒成立，令，则，即，‎ 所以，所以在上单调递增，同理在上单调递减．‎ ‎（2）①当时，恒成立，符合题意；‎ ②当时，，‎ 故，即；‎ ③当时，‎ ‎，‎ 从而，故，所以．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎16.（2017全国2文21）设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎16.解析 （1）.‎ 令，得，解得，.所以当时，，当或时，，所以在区间，‎ 上是减函数，在区间上是增函数.‎ ‎（2）因为时，，所以.所以，令，则，即时，，而，所以，所以，.‎ 再令，，当时，恒成立. 所以在上是增函数，恒有，从而是增函数，，，在上恒成立，故即为所求.‎ 题型38 利用导数研究函数的单调性 ‎1.（2015陕西文9） 设函数，则（ ）.‎ A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数 ‎1. 解析 因为，，所以，‎ 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数；‎ 因为是增函数.因为，所以有零点.故选B.‎ ‎2.（2015新课标2卷文12） 设函数，则使得 成立的的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 解析 由题意知，即为偶函数.因为，‎ 所以在上是增函数，所以使成立的条件是 ‎.所以，解之得.故选A.‎ ‎3.（2015安徽文21（1））已知函数.‎ 求的定义域，并讨论的单调性；‎ ‎3. 分析 函数有意义，分母不能为0，即，亦即，即可求出的定义 域.又，，，即可求出函数的单调 区间.‎ 解析 由题意可知，即，所以的定义域为.‎ 又，令，得.‎ 由可知，当时，；‎ 当时，；当时，.‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和.‎ ‎4.（2015福建文22（1））已知函数．求函数的单调递增区间.‎ ‎4. 分析 求导函数，解不等式并与定义域求交集，得函数的单调递增区间.‎ 解析 （1），．‎ 由，得，解得．‎ 故的单调递增区间是．‎ ‎5.（2015新课标2卷文21(1)）已知函数.讨论的单调性.‎ ‎5. 分析 由题意，先求出函数的定义域，再对函数进行求导，得，然后分 ‎，两种情况来讨论；‎ 解析 的定义域为，.‎ 若，则，所以在上单调递增.‎ 若，则当时，；当时，.‎ 所以在 上单调递增， 在上单调递减.‎ ‎6.（2015四川文21（1））已知函数，其中.‎ 设为的导函数，讨论的单调性；‎ ‎6. 解析 由已知可得函数的定义域为.‎ ‎，所以，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎7.（2015天津文20（1）） 已知函数其中，且.‎ 求的单调性；‎ ‎7. 解析 （1）由，可得，‎ 当 ，即时，函数 单调递增；‎ 当 ，即时，函数单调递减.‎ 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎8.（2015重庆文19（2））已知函数在处取得极值.‎ 若，讨论的单调性.‎ ‎8. 解析 由（1）得， 故 ‎ ‎ ．‎ 令，解得，或．‎ 则，，的变化如下表所示：‎ 极小值 极大值 极小值 所以在和上为减函数，在和上为增函数．‎