高考数学复习专题练习选修4-5 不等式选讲 5页

选修4-5 不等式选讲 一、填空题 ‎1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．‎ 解析　①当2x－1≥0，即x≥时，不等式变为2x－1＜3，得x＜2，∴≤x＜2.②当2x－1＜0即x＜时，不等式变为－(2x－1)＜3即x＞－1，∴－1＜x＜，综上不等式解集为{x|－1＜x＜2}．‎ 答案　(－1,2)‎ ‎2．已知x＞0，则函数y＝x(1－x2)的最大值为________．‎ 解析　∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.‎ ‎∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，‎ ‎∴y2≤3＝.‎ 当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时取等号．‎ ‎∴y≤.∴y的最大值为.‎ 答案　 ‎3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．‎ 解析　法一　(零点分段法)由题意可知，‎ 或或 解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．‎ 法二　(几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观察数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．‎ 答案　{x|x≥0}‎ ‎4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．‎ 答案　(－∞，3]‎ ‎5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　当a＜0时，显然成立；‎ 当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，‎ ‎∴a＋≤4.∴a＝2.‎ 综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．‎ 答案　(－∞，0)∪{2}‎ ‎6．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝________.‎ 解析　∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y＋2z最小值为－6，此时＝＝.‎ 又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－，y＝，z＝－.‎ 答案　－6　 ‎7．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析　∵a≥＝对任意x＞0恒成立，设u＝x＋＋3，‎ ‎∴只需a≥恒成立即可．‎ ‎∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．‎ 由u≥5，知0＜≤，∴a≥.‎ 答案　 ‎8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．‎ 解析　|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．‎ 答案　必要不充分 二、解答题 ‎9．对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－2b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．‎ 解　原不等式等价于≥|x－1|＋|x－2|，设＝t，则原不等式变为|t＋1|＋|2t－1|≥|x－1|＋|x－2|对任意t恒成立．‎ 因为|t＋1|＋|2t－1|＝ 在t＝时取到最小值为.‎ 所以有≥|x－1|＋|x－2|＝ 解得x∈.‎ ‎10．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ 解　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，‎ 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.‎ ‎(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c) ‎≥2＝9.‎