2020届二轮复习随机事件及其概率教案（全国通用） 7页

‎2020届二轮复习 随机事件及其概率 教案（全国通用）‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、概率的相关概念 ‎【例1】下面事件：‎ ‎①实数的绝对值大于0；‎ ‎②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；‎ ‎③在标准大气压下，水在‎100°C沸腾；‎ ‎④掷一枚硬币，出现反面；‎ ‎⑤异性电荷相互吸引；‎ ‎⑥3+5＞10；‎ 随机事件有 ；必然事件 ；不可能事件： .‎ ‎【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.‎ ‎【解析】随机事件：①、②、④；‎ 不可能事件：⑥；‎ 必然事件：③、⑤.‎ ‎【例2】一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：‎ ‎（1）“取出的球是红球”是什么事件？‎ ‎（2）“取出的球是黑球”是什么事件？‎ ‎（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？‎ ‎【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。‎ ‎【解析】（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；‎ ‎（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；‎ ‎（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。‎ ‎【点评】对随机事件的理解应包含下面两个方面：‎ ‎（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；‎ ‎（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。‎ ‎【例3】已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：‎ ‎①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件 ‎③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件 其中正确的个数是( )‎ A、1 B、‎2 ‎C、3 D、4‎ ‎【思路点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.‎ ‎【解析】答案：C ‎①③④正确，②错误.‎ ‎【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】事件“时，”是（　　）‎ A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上均不正确 ‎【答案】A 类型二、随机事件的频率与概率 ‎1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；‎ ‎2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。‎ ‎【例4】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：‎ 投篮次数n ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎16‎ 进球次数m ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎12‎ 进球频率 ‎（1）计算表中进球的频率；‎ ‎（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？‎ ‎【思路点拨】解答本题可根据频率的计算公式，其中 为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。‎ ‎【解析】（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为 ‎（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为。‎ ‎【例5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式 作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．‎ ‎(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；‎ ‎(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．‎ ‎【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。‎ ‎【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎4”‎的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于‎3”‎的事件为B.‎ 从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．‎ ‎(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎4”‎的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝.‎ ‎(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎1”‎的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎2”‎的取法有1种：(0,2)，‎ 故P(B)＝1－(＋)＝.‎ ‎【总结升华】将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别0.4,0.5,0.1.‎ ‎(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；‎ ‎(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．‎ ‎【解析】法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为‎0”‎ ‎，事件B表示“一个月内被投诉的次数为‎1”‎，‎ ‎∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.‎ ‎(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为‎0”‎，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为‎1”‎，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为‎2”‎，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．‎ ‎∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．‎ ‎∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A‎1C2＋A‎2C1)，‎ 一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，‎ ‎∴P(D)＝P(A‎1C2＋A‎2C1)＋P(B1B2)＝P(A‎1C2)＋P(A‎2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.‎ 法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．‎ ‎∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.‎ ‎(2)同法一．‎ 类型三、互斥事件、对立事件的概率 ‎【例6】甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题 ‎（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ ‎【思路点拨】先设事件，再分析事件的性质，然后根据互斥事件概率求法求解。‎ ‎【答案】甲、乙两人依次抽一题的结果有个 ‎（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有个，‎ 所求概率；‎ ‎（2）‎ 法一：因为甲，乙二人都没有抽到选择题的概率是，‎ 故甲，乙二人中至少有一人抽到的概率为.‎ 法二：甲，乙二人中至少有一人抽到选择题包含着三种情况：‎ 甲，乙二人都抽到选择题，其概率为 甲抽到选择题，乙抽到判断题，其概率为 甲抽到判断题，乙抽到选择题，其概率为，‎ 三种情况是三个互斥事件，‎ 故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率P=.‎ ‎【总结升华】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】【高清课堂随机事件及其概率例题7】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )‎ A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ D.“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C.‎ ‎【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．‎ ‎（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；‎ ‎（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，‎ 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．‎ 则互斥，且，故 于是．解得（舍去）．‎ ‎（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．‎ 若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，‎ 故．‎ ‎.‎ ‎【例7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．‎ ‎（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；‎ ‎（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．‎ ‎【解析】记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，‎ 则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．‎ 表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．‎ 表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．‎ 则．‎ ‎，．‎ ‎∴．‎ ‎【变式】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：‎ ‎（1）射中10环或9环的概率；‎ ‎（2）少于7环的概率.‎ ‎【解析】（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.‎ ‎（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.‎ ‎【例8】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）‎ 围棋社 戏剧社 书法社 高中 ‎45‎ ‎30‎ 初中 ‎15‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎ ‎ 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.‎ ‎(I) 求这三个社团共有多少人？‎ ‎(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.‎ ‎【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数．‎ ‎（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，根据概率公式得到结果．‎ ‎【解析】（I）围棋社共有60人， ‎ ‎ 由可知三个社团一共有150人. ‎ ‎（II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为, ‎ ‎ 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:‎ ‎ ，共10个基本事件. ‎ ‎ 设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ‎ ‎ 则事件共有 6个基本事件. ‎ ‎ . ‎ ‎ 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为. ‎ ‎【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．‎