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- 2021-06-16 发布
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11.3 二项分布与正态分布
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.条件概率、相互独立事件及二项分布
了解条件概率和两个相互独立事件的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题
2012天津,16
两个相互独立事件的概率的求法
互斥事件的概率公式、期望
★★★
2.正态分布及其应用
利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
2017课标Ⅰ,19
正态分布的应用
数学期望
★☆☆
分析解读 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件概率的求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率为近几年高考的热点.本节在高考中难度为易或中等.
破考点
【考点集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.随机变量ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,则np等于( )
A.3 200 B.2 700 C.1 350 D.1 200
答案 B
2.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
答案 A
3.某篮球队甲、乙两名球员在一个赛季中前10场比赛中投篮命中情况统计如下表注:表中分数nN,N表示投篮次数,n表示命中次数,假设各场比赛相互独立.
场次
球员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
513
412
1430
59
1419
1016
1223
48
613
1019
乙
1326
918
914
816
615
1014
721
916
1022
1220
根据统计表的信息:
(1)从上述比赛中等可能随机选择一场,分别求甲、乙球员在该场比赛中投篮命中率大于50%的概率;
(2)试估计甲、乙两名球员在第11场比赛中恰有一人的命中率大于50%的概率;
(3)在接下来的3场比赛中,用X表示这3场比赛中乙球员的命中率大于50%的场数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.
解析 (1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的场次有5场,
所以在随机选择的一场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的概率是12.在10场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的场次有4场,所以在随机选择的一场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的概率是25.
(2)设在一场比赛中,甲、乙两名球员恰有一人命中率大于50%为事件A,甲球员的命中率大于50%且乙球员的命中率不大于50%为事件B1,乙球员的命中率大于50%且甲球员的命中率不大于50%为事件B2,
则P(A)=P(B1)+P(B2)=12×35+12×25=12.
(3)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C30250353=27125;
P(X=1)=C31251352=54125;
P(X=2)=C32252351=36125;
P(X=3)=C33253=8125.
X的分布列如下表:
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
所以EX=3×25=65.
思路分析 (1)利用原始数据找到符合要求的场次,从而求出概率;(2)把“恰有一人命中率大于50%”分解为互斥事件的和,求概率;(3)利用(1)中的概率,结合3次独立重复试验和二项分布求分布列和数学期望.
考点二 正态分布及其应用
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2).若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977
答案 C
5.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
炼技法
【方法集训】
方法1 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
1.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .
答案 1.96
2.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
答案 13
方法2 正态分布及其应用方法
3.某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即X~ N(100,a2)(a>0),试卷满分为150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110,则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )
A.400 B.500 C.600 D.800
答案 A
4.高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.341 3,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为( )
A.0.158 7 B.0.341 3 C.0.182 6 D.0.500 0
答案 A
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·天津卷题组
(2012天津,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
解析 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=C4i13i234-i .
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=C42·132232=827.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,
故P(B)=P(A3)+P(A4)=C4313323+C44134=19.
所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
故P(ξ=0)=P(A2)=827,
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=4081,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=1781.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
827
4081
1781
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×827+2×4081+4×1781=14881.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)