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- 2021-06-16 发布
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浙江省北斗星盟高三适应性考试
数学学科试题
考生须知:
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效.
4.考试结束后,只需上交答题卷.
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.3
3.已知直线与圆相切,则实数k的值是
A. B. C. D.
4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积(单位:)是
A. B. C. D.
5.已知,则“”是“的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设,随机变量X的分布列是:
X
-1
1
2
P
则当最大时的a的值是
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是
8.已知,若不等式成立,则a的取值范围是
A. B. C. D.
9.已知数列满足,,则
A. B.
C. D.
10.如图,在平行四边形ABCD中,沿AC将折成,记异面直线PA与BC所成的角为,直线PA与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B为,当时,则
A. B. C. D.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.复数(i为虚数单位),则__________.
12.若实数x,y满足约束条件,则的最小值是__________;的最大值是__________.
13.已知,则__________﹔__________.
14.已知函数,则不等式的解是__________;不等式的解是__________.
15.4名女生与3名男生站成一排,最左端站女生,最右端站男生,且男生互不相邻的站法共__________种.
16.如图,过原点O的直线AB交椭圆于A,B两点,过点A分别作x轴、AB的垂线AP.AQ交椭圆C于点P.Q,连接BQ交AP于一点M,若,则椭圆C的离心率是__________.
17.如图,在中,,,,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.设,,,则的最大值是)_______;的最小值是__________.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在中,A,B,C所对的边为a,b,c,已知,.
(1)求角B;
(2)已知函数,当最大值时,求.
19.在四棱锥P-ABCD中,平面底面ABCD,,°,.
(1)证明:﹔
(2)设,,求直线CB与平面PCD所成角的正弦值.
20.已知数列的前n项和为,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
21.如图,已知抛物线上不同的两点关于直线对称,记l与y轴交于点C.
(1)若,求k的值;
(2)求面积的最大值.
22.设函数,.
(1)若在上仅有一个零点,求a的取值范围;
(2)若,试讨论方程在上的根的个数.
2019学年第二学期北斗星盟高三适应性考试
数学试题参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1~5:ABDCA 6~10:DCCCB
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11. 12.;
13.;0 14.;或
15.432
16.设),
则,
由,则,
再由B,M,Q三点共线,则,
故,故即
,
又因为,,
即,
所以,故椭圆C的离心率是.
17.90;
在线段AC上取一点M,使得,则
所以,
当点D在线段AC的延长线上取“=”;
又因为
,
当D,M,B三点共线时取“=”.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(1)因为,即,故,
又因为,则;
(2)因为
因为,所以当最大值时,
有,
故,
则.
19.(1)因为平面底面ABCD,,
所以平面PAB,即,
又因为,且,
故平面PBC,所以;
(2)如图建系,
则,,,,
则,,
设平面PDC的法向量为,则
,即,
所以,
即直线CB与平面PCD所成角的正弦值为.
20.解:(1)因为,
所以,
故,
即,
又因为,所以,
故为等差数列,即,亦即;
(2)显然
当时,,
故
21.(1)设直线AB的方程为,
联立方程组,得,
故,所以;
(2)由(1)知,,
,
则线段AB的中点坐标为,
所以,即
亦即直线AB的方程为,
,,,
所以点C到AB的距离为,,
故面积
令,则,
令,
则,
易知在上递增,在递减,
故,
即当时,面积有最大值.
22.(1)当时,,不符题意
当时,,
即,故.
当时,则,不符题意
当时,则,
其零点为或,满足题意
综上,的取值范围是;
(2)令,
则
因为,故,
所以当时,,
当时,,
当时,,
即知在上递增,在上递减,在上递增,且有,
,
故在上存在唯一的零点,
令,则,
易知在上递减,在上递增,
故,即
所以当时,
,
得,
故存在,使得,
所以在上也存在唯一的零点,
取,
又因为在上恒成立,
故,
同样可知在上仍存在唯一的零点
综上,当时,方程在上恒有3个相异实根.