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  • 2021-06-16 发布

浙江省北斗星盟2020届高三适应性考试数学学科试题

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浙江省北斗星盟高三适应性考试 数学学科试题 考生须知:‎ ‎1.本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.‎ ‎3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后,只需上交答题卷.‎ 选择题部分(共40分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.3‎ ‎3.已知直线与圆相切,则实数k的值是 A. B. C. D.‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积(单位:)是 A. B. C. D.‎ ‎5.已知,则“”是“的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.设,随机变量X的分布列是:‎ X ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则当最大时的a的值是 A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8.已知,若不等式成立,则a的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎9.已知数列满足,,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎10.如图,在平行四边形ABCD中,沿AC将折成,记异面直线PA与BC所成的角为,直线PA与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B为,当时,则 A. B. C. D.‎ 非选择题部分(共110分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.‎ ‎11.复数(i为虚数单位),则__________.‎ ‎12.若实数x,y满足约束条件,则的最小值是__________;的最大值是__________.‎ ‎13.已知,则__________﹔__________.‎ ‎14.已知函数,则不等式的解是__________;不等式的解是__________.‎ ‎15.4名女生与3名男生站成一排,最左端站女生,最右端站男生,且男生互不相邻的站法共__________种.‎ ‎16.如图,过原点O的直线AB交椭圆于A,B两点,过点A分别作x轴、AB的垂线AP.AQ交椭圆C于点P.Q,连接BQ交AP于一点M,若,则椭圆C的离心率是__________.‎ ‎17.如图,在中,,,,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.设,,,则的最大值是)_______;的最小值是__________.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.在中,A,B,C所对的边为a,b,c,已知,.‎ ‎(1)求角B;‎ ‎(2)已知函数,当最大值时,求.‎ ‎19.在四棱锥P-ABCD中,平面底面ABCD,,°,.‎ ‎(1)证明:﹔‎ ‎(2)设,,求直线CB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎20.已知数列的前n项和为,已知,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎21.如图,已知抛物线上不同的两点关于直线对称,记l与y轴交于点C.‎ ‎(1)若,求k的值;‎ ‎(2)求面积的最大值.‎ ‎22.设函数,.‎ ‎(1)若在上仅有一个零点,求a的取值范围;‎ ‎(2)若,试讨论方程在上的根的个数.‎ ‎2019学年第二学期北斗星盟高三适应性考试 数学试题参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1~5:ABDCA 6~10:DCCCB 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.‎ ‎11. 12.;‎ ‎13.;0 14.;或 ‎15.432‎ ‎16.设),‎ 则,‎ 由,则,‎ 再由B,M,Q三点共线,则,‎ 故,故即 ‎,‎ 又因为,,‎ 即,‎ 所以,故椭圆C的离心率是.‎ ‎17.90;‎ 在线段AC上取一点M,使得,则 所以,‎ 当点D在线段AC的延长线上取“=”;‎ 又因为 ‎,‎ 当D,M,B三点共线时取“=”.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(1)因为,即,故,‎ 又因为,则;‎ ‎(2)因为 因为,所以当最大值时,‎ 有,‎ 故,‎ 则.‎ ‎19.(1)因为平面底面ABCD,,‎ 所以平面PAB,即,‎ 又因为,且,‎ 故平面PBC,所以;‎ ‎(2)如图建系,‎ 则,,,,‎ 则,,‎ 设平面PDC的法向量为,则 ‎,即,‎ 所以,‎ 即直线CB与平面PCD所成角的正弦值为.‎ ‎20.解:(1)因为,‎ 所以,‎ 故,‎ 即,‎ 又因为,所以,‎ 故为等差数列,即,亦即;‎ ‎(2)显然 当时,,‎ 故 ‎21.(1)设直线AB的方程为,‎ 联立方程组,得,‎ 故,所以;‎ ‎(2)由(1)知,,‎ ‎,‎ 则线段AB的中点坐标为,‎ 所以,即 亦即直线AB的方程为,‎ ‎,,,‎ 所以点C到AB的距离为,,‎ 故面积 令,则,‎ 令,‎ 则,‎ 易知在上递增,在递减,‎ 故,‎ 即当时,面积有最大值.‎ ‎22.(1)当时,,不符题意 当时,,‎ 即,故.‎ 当时,则,不符题意 当时,则,‎ 其零点为或,满足题意 综上,的取值范围是;‎ ‎(2)令,‎ 则 因为,故,‎ 所以当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 即知在上递增,在上递减,在上递增,且有,‎ ‎,‎ 故在上存在唯一的零点,‎ 令,则,‎ 易知在上递减,在上递增,‎ 故,即 所以当时,‎ ‎,‎ 得,‎ 故存在,使得,‎ 所以在上也存在唯一的零点,‎ 取,‎ 又因为在上恒成立,‎ 故,‎ 同样可知在上仍存在唯一的零点 综上,当时,方程在上恒有3个相异实根.‎