高中数学二轮专题复习学案-专题 数形结合思想 17页

专题：数形结合思想 【思想方法诠释】 一、数形结合的思想 所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几 何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路 ，使问 题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种 重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形 的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转 化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化． 二、数形结合思想解决的问题常有以下几种： 1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； 3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； 5．构建立体几何模型研究代数问题； 6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 7．构建方程模型，求根的个数； 8．研究图形的形状、位置关系、性质等。 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇 特功效，具体操作时，应注意以下几点： 1．准确画出函数图象，注意函数的定义域； 2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首 先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函 数的图象，由图求解。 四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。 【核心要点突破】 要点考向 1：利用数学概念或数学式的几何意义解题 例 1：实系数一元二次方程 x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2） 内，求： （1）点（a,b）对应的区域的面积； （2） 的取值范围； （3）(a-1)2+(b-2)2 的值域． 思路精析：列出 a,b 满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据 的几何意义求范围→ 根据(a-1)2+(b-2)2 的几何意义求值域． 解析：方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数 y=f(x)= x2+ax+2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内， 由此可得不等式组 由 ，解得 A（-3，1）．由 ，解得 C（-1，0）． ∴在如图所示的 aOb 坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）． （1）△ABC 的面积为 （h 为 A 到 Oa 轴的距离）． （2） 几何意义是点(a,b)和点 D(1,2)边线的斜率． 由图可知 （3）∵(a-1)2+(b-2)2 表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方， 注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所 谓的几何法求解，比较常见的对应有： （1） 连线的斜率； （2） 之间的距离； （3） 为直角三角形的三边； （4） 图象的对称轴为 x= ．只要具有一定的观察能力，再掌 握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法． 要点考向 2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题 例 2：（1）已知：函数 f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程 f(x)=lgx 解的个数是（ ） (A)5 (B)7 (C)9 (D)10 (2)设有函数 f(x)=a+ 和 g(x)= ,已知 x∈[-4,0]时，恒有 f(x)≤g(x)，求实 数 a 的范围． 思路精析：（1）画出 f(x)的图象→画出 y=lgx 的图象→数出交点个数． （ 2 ） f(x) ≤ g(x) 变 形 为 →画出 的 图 象 → 画 出 的图象→寻找 成立的位置 解析：（1）选 C．由题间可知，f(x)是以 2 为周期，值域为[0，1]的函数．又 f(x) =lgx，则 x∈（0， 10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共 9 个交点． （ 2 ） f(x) ≤ g(x) ，即 ， 变 形 得 ，令 …………①， ………………② ①变形得 ，即表示以（-2，0）为圆心，2 为半径的圆的上半圆； ②表示斜率为 ，纵截距为 1-a 的平行直线系．设与圆相切的直线为 AT，其倾斜角为 ，则有 tan = , , 要使 f(x)≤g(x)在 x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线 AT 的上方或与它重合，故 有 1-a≥6,∴a≤-5． 注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数 是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时， 需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为 方程解的个数． （2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数， 利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算， 获得简捷的解答． （3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域） 经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标． 要点考向 2：数形结合在解析几何中的应用 例 3：已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点 (0, 2)F ，且长轴长与短轴长的比是 2 :1． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若椭圆 在第一象限的一点 P 的横坐标为1，过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA ， PB 分 别交椭圆 于另外两点 A ， B ，求证：直线 AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求 PAB 面积的最大值． 解析：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 22 221( 0)yx abab    ． 由题意 2 2 2 , : 2 :1, 2. a b c ab c       ………………………………………………2 分 解得 2 4a  ， 2 2b  ． 所以椭圆C 的方程为 22 142 yx ．………………………………………………4 分 （Ⅱ）由题意知，两直线 PA ， PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k ，则 的直线方程为 2 ( 1)y k x   . 由 22 2 ( 1), 1.42 y k x yx      得 2 2 2(2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 4 0k x k k x k       .……6 分 设 ( , )AAA x y ， ( , )BBB x y ，则 2 2 2 2 21 2BB kkxx k     ， 同理可得 2 2 2 2 2 2A kkx k   ， 则 2 42 2AB kxx k ， 2 8( 1) ( 1) 2A B A B ky y k x k x k        . 所以直线 AB 的斜率 2AB AB AB yyk xx  为定值. ……………………………………8 分 （Ⅲ）设 的直线方程为 2y x m. 由 22 2, 1.42 y x m yx    得 224 2 2 4 0x mx m    . 由 22(2 2 ) 16( 4) 0mm     ，得 2 8m  .……………………………………10 分 此时 2 2AB mxx   ， 2 4 4AB mxx  . P 到 的距离为 3 md  ， 22( ) ( )A B A BAB x x y y    23 122 m   则 21 1 3122 2 2 3PAB mS AB d m     22 221 1 1 1 8( 8) 22 2 2 2 2 mmmm       . 因为 2 4m  使判别式大于零，所以当且仅当 2m  时取等号，[ 所以 PAB 面积的最大值为 2 ．………………………………………………………13 分 注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题， 也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效． 2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征， 转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决． 要点考向 2：数形结合在立体几何中的应用 例 4：如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90ADC   , //CD AB , 4, 2AB AD CD   , M 为线段 AB 的中点.将 ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC  平面 ABC ,得到几何体 D ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC  平面 ACD ； (Ⅱ) 求二面角 A CD M的余弦值. 解析:（Ⅰ）在图 1 中,可得 22AC BC ,从而 2 2 2AC BC AB,故 AC BC . 取 AC 中点O 连结 DO ,则 DO AC ,又面 ADC 面 , 面 ADC 面 AC , DO  面 ACD ,从而OD  平面 ABC . …………………4 分 ∴OD BC ，又 , AC OD O . ∴ 平面 . ………………………………………………6 分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz 如图所示,则 (0, 2,0)M , ( 2,0,0)C  , (0,0, 2)D ( 2, 2,0)CM  , ( 2,0, 2)CD  . ………………………………………………8 分 设 1 ( , , )n x y z 为面CDM 的法向量, 则 1 1 0 0 n CM n CD    即 2 2 0 2 2 0 xy xz    ,解得 yx zx    . 令 1x  ,可得 1 ( 1,1,1)n  . 又 2 (0,1,0)n  为面 ACD 的一个法向量，∴ 12 12 12 13cos , 3| || | 3 nnnn nn     . ∴二面角 A CD M的余弦值为 3 3 . 注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置 关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转 化为坐标运算． 2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将 条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口． 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1.方程 lgx=sinx 的根的个数( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2．已知全集 U=R，集合 A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( ) A．(3,5) B．(-2,+ ) C．(-2,5) D．(5,+ ) 3． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 平 面 区 域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}， 则 平 面 区 域 B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ） (A)2 (B)1 (C) 1 2 (D) 1 4 4．函数 32()f x x bx cx d    图象如图，则函数 2 2 33 cy x bx   的单调递增区间为（ ） A． ]2,(  B． ),3[  C． ]3,2[ D． ),2 1[  5．不等式组 21 42 xa xa     有解，则实数 a 的取值范围是（ ） －2 3 y x 0 A．( 1,3) B．( , 1) (3, )   C．( 3,1) D．( , 3) (1, )   6．已知 f(x)是定义在（-3，3）上 的奇函数，当 04 时，f(x)在［t,t+1］上单调递减（如图③），h(t)=f(t)=-t2+8t. (2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ (x)=g(x)-f(x)的图象与 x 轴 的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵φ (x)=x2-8x+6lnx+m, [ 当 x∈(0,1)时φ ′(x)>0,φ (x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ ′(x)<0,φ (x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ ′(x)>0,φ (x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时，φ ′（x）=0. ∴φ (x)极大值=φ （1）=m-7,φ (x)极小值=φ （3）=m+6ln3-15. ∵当 x 充分接近 0 时，φ （x）<0，当 x 充分大时,φ (x)>0, ∴要使φ (x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点， 即 7c (B)b≥c 或 b≤c 中至少有一个正确 (C)b