【数学】2020届一轮复习人教B版（文）5-1数列的概念与简单表示法作业 6页

课时作业28　数列的概念与简单表示法 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·河南安阳模拟]已知数列：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 018项a2 018等于(　　)‎ A.　 B. C．64 D. 解析：观察数列：，，，，，，，，，，…，可将它分成k(k∈N*)组，即第1组有1项，第2组有2项，第3组有3项，……，所以第k组有k项，各项的分子从k依次减小至1，分母从1依次增大到k，所以前k组共有项，令2 018＝＋m(k∈N*,1≤m≤k，m∈N*)，可得k＝63，m＝2，∴该数列的第2 018项a2 018为第64组的第2项，故a2 018＝，故选D.‎ 答案：D ‎2．[2019·广东茂名模拟]Sn是数列{an}的前n项和，且∀n∈N*都有2Sn＝3an＋4，则Sn＝(　　)‎ A．2－2×3n B．4×3n C．－4×3n－1 D．－2－2×3n－1‎ 解析：∵2Sn＝3an＋4，∴2Sn＝3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，变形为Sn－2＝3(Sn－1－2)，又n＝1时，2S1＝3S1＋4，解得S1＝－4，∴S1－2＝－6.∴数列{Sn－2}是等比数列，首项为－6，公比为3.∴Sn－2＝－6×3n－1，可得Sn＝2－2×3n.故选A.‎ 答案：A ‎3．[2019·河北石家庄模拟]若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 018的值为(　　)‎ A．2 B．－3‎ C．－ D. 解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，同理可得：a3＝－，a4＝，a5＝2，……，可得an＋4＝an，则a2 018＝a504×4＋2＝a2＝－3.故选B.‎ 答案：B ‎4．[2019·广东惠州模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵Sn＝2an－1，∴n＝1时，a1＝‎2a1－1，解得a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1.∴数列{an}是等比数列，公比为2.∴a6＝25＝32，S6＝＝63，则＝.故选A.‎ 答案：A ‎5．已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n＋1 B．an＝ C．an＝2n D．an＝2n＋2‎ 解析：由题意可知，数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，‎ 则a1＋a2＋a3＋…＋an－1‎ ‎＝2(n－1)＋5，n>1，‎ 两式相减可得：＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，‎ ‎∴an＝2n＋1，n>1，n∈N*.‎ 当n＝1时，＝7，∴a1＝14，‎ 综上可知，数列{an}的通项公式为：‎ an＝ 故选B.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．[2019·惠州高三调研]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.‎ 解析：an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1.‎ 答案：n·2n－1‎ ‎7．[2019·太原市高三模拟]已知数列{an}中，a1＝0，an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，若数列{bn}满足bn＝n··n－1，则数列{bn}的最大项为第______项．‎ 解析：由a1＝0，且an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，得an－an－1＝2n－1(n≥2)，则a2－a1＝2×2－1，a3－a2＝2×3－1，a4－a3＝2×4－1，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，以上各式累加得an＝2(2＋3＋…＋n)－(n－1)＝2×－n＋1＝n2－1(n≥2)，当n＝1时，上式仍成立，所以bn＝n··n－1＝n··n－1＝(n2＋n)·n－1(n∈N*)．由得解得≤n≤.因为n∈N*，所以n＝6，所以数列{bn}的最大项为第6项．‎ 答案：6‎ ‎8．[2019·广州市高中综合测试]我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为Sn，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，则S126＝________.‎ 解析：题图②中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的.根据以上规律，当n＝8时，第28－1行有128个1，即S128＝128，第127行有64个1，即S127＝64，第126行有64个1，即S126＝64.‎ 答案：64‎ 三、解答题 ‎9．[2019·山东青岛调研]已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}为等差数列，Tn为其前n项和，b2＝a5，b11＝S3，求Tn的最值．‎ 解析：(1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得 ‎(ⅰ)当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.‎ ‎(ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1(*)．又当n＝1时，a1＝3也满足(*)式．‎ 所以，对任意n∈N*，都有an＝3×2n－1.‎ ‎(2)设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，由(1)得b2＝a5＝3×25－1＝48，b11＝S3＝3×23－3＝21.‎ 由等差数列的通项公式得解得 所以bn＝54－3n.‎ 可以看出bn随着n的增大而减小，‎ 令bn≥0，解得n≤18，‎ 所以Tn有最大值，无最小值，且T18(或T17)为前n项和Tn的最大值，‎ T18＝＝9×(51＋0)＝459.‎ 一题多解　对于求Tn的最值还有以下解法：‎ 由上知bn＝54－3n，‎ ‎∴Tn＝＝(－3n2＋105n)，‎ 又y＝(－3x2＋105x)图象的对称轴为x＝17.5.‎ ‎∴T17＝T18，它们的值最大，且Tn无最小值．‎ 可得T18＝459.‎ ‎10．[2018·全国卷Ⅰ]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式．‎ 解析：(1)由条件可得an＋1＝an.‎ 将n＝1代入得，a2＝‎4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝‎3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以an＝n·2n－1.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·郑州高中质量预测]已知f(x)＝数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B. C．(1,3) D．(3，＋∞)‎ 解析：因为an＝f(n)，且{an}是递增数列，所以则得a>3.故选D.‎ 答案：D ‎12．[2019·山东济宁模拟]设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)‎ A. B. C．3 D. 解析：令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，即‎18a18＝52，所以a18＝，故选B.‎ 答案：B ‎13．[2019·山西省八校联考]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)·，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．‎ 解析：由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以数列是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1>0对一切正整数n恒成立，所以λ