【数学】2020届一轮复习人教B版参数方程的意义作业 5页

‎2020届一轮复习人教B版 参数方程的意义 作业 ‎1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.‎ ‎2．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点(　　)‎ A．(2,3) B．(1,5)‎ C. D．(2,0)‎ 解析：选D　当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0，所以过点(2,0)．‎ ‎3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(　　)‎ A．(2，－7) B. C. D．(1,0)‎ 解析：选C　将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．‎ ‎4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴ ‎5．如图442，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA＝a，MB＝b(2r＜a＋b)．当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程．‎ 图442‎ ‎【解】　如题图，设点M(x，y)，θ＝∠BAO，由点B作BC⊥Ox，交Ox于点C，由点M作MD⊥Ox，交Ox于点D，由点M作ME⊥BC，交BC于点E，那么y＝DM＝asin θ，‎ x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM ‎＝±＋EM ‎＝±＋bcos θ，‎ 得到点M(x，y)的坐标满足方程组 即为点M的轨迹方程．‎ ‎6．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为‎9 m/s和‎12 m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹方程．‎ ‎【解】　设t s后点M的坐标为(x，y)，‎ 则所以点M的轨迹方程为 (t≥0)．‎ ‎7．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程．‎ ‎【导学号：98990028】‎ ‎【解】　椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A的坐标为(－2,0)．‎ 设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足 将＝k代入＋y2＝1，消去x，‎ 得(＋4)y2－y＝0.‎ 解得y＝0，或y＝.‎ 由y＝，解得x＝；‎ 由y＝0，解得x＝2.‎ 由于(2,0)满足方程组 所以椭圆＋y2＝1的参数方程为 ‎8．△ABC是圆x2＋y2＝1的内接三角形，已知A(1,0)，∠BAC＝60°，求△ABC的重心的轨迹方程．‎ ‎【解】　因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°.‎ 设B(cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，‎ 则有C(cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x，y)，则 所以 即 消去θ＋60°，得(3x－1)2＋9y2＝1，‎ ‎∵0°＜θ＜240°，‎ ‎∴－1≤cos(θ＋60°)＜，‎ ‎∴0≤＜，‎ 即0≤x＜.‎ ‎∴△ABC的重心的轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<)．‎ ‎9．如图443，过抛物线y2＝4x上任一点M作MQ垂直于准线l，垂足为Q，连接OM和QF(F为焦点)相交于点P，当M在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程．‎ 图443‎ ‎【解】　设直线OM的方程为y＝kx(k≠0)，‎ 由得或所以M(，)，‎ 则Q(－1，)，于是直线QF的方程为 y＝(x－1)，即y＝－(x－1)．‎ 由 消去k，得2x2＋y2－2x＝0.‎ 所以点P的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．‎ ‎10．如图444所示，OA是圆C的直径，且OA＝‎2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．‎ 图444‎ ‎【解】　设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，‎ y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.‎ 所以P点轨迹的参数方程为 θ∈(－，)．‎ ‎11．已知点P(x，y)是曲线C：上的任意一点，求3x＋y的取值范围．‎ ‎【解】　设P(3＋cos θ，2＋sin θ)，‎ 则3x＋y＝3(3＋cos θ)＋(2＋sin θ)‎ ‎＝11＋3cos θ＋sin θ＝11＋2sin(θ＋)，‎ ‎∴3x＋y的最大值为11＋2，最小值为11－2，取值范围是[11－2，11＋2]．‎ ‎[能力提升]‎ ‎12．如图445，已知曲线4x2＋9y2＝36(x＞0，y＞0)，点A在曲线上移动，点C(6,4)，以AC为对角线作矩形ABCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A的坐标．‎ 图445‎ ‎【解】　∵椭圆方程为＋＝1(x＞0，y＞0)，‎ 设A(3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，)，‎ 则B(6,2sin θ)，C(6,4)，D(3cos θ，4)，‎ 所以SABCD＝AB·AD＝(6－3cos θ)(4－2sin θ)‎ ‎＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.‎ 令t＝sin θ＋cos θ，则t∈(1，]，sin θcos θ＝，‎ 则SABCD＝3(t－2)2＋9.‎ 因为t∈(1，]，所以当t＝时，‎ 矩形面积最小，即t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝，‎ 此时，θ＝.‎ 所以矩形ABCD的面积最小时点A坐标是(，)．‎