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- 2021-06-16 发布
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考点测试35 二元一次不等式组与简单的线性规划
高考概览
考纲研读
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决
一、基础小题
1.不等式y(x+y-2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
答案 C
解析 由y(x+y-2)≥0,得或
所以不等式y(x+y-2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项.
2.已知点A(-3,-1)与点B(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围是( )
A.(-24,7)
B.(-7,24)
C.(-∞,-24)∪(7,+∞)
D.(-∞,-7)∪(24,+∞)
答案 B
解析 (-9+2-a)(12+12-a)<0,所以-7<a<24.故选B.
3.若实数x,y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A.3 B. C.2 D.2
答案 C
解析 因为直线x-y=-1与x+y=1互相垂直,所以如图所示的可行域为直角三角形,易得A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|=,|AC|=2,所以其面积为×|AB|×|AC|=2.
4.若变量x,y满足约束条件则3x+2y的最大值是( )
A.0 B.2 C.5 D.6
答案 C
解析 作不等式组的可行域,如图:
令z=3x+2y,则y=-x+表示一系列平行于y=-x的直线,并且表示该直线的纵截距.显然,把直线y=-x平移至点A处,z最大.由得A(1,1).所以zmax=3x+2y=3+2=5.故选C.
5.已知点(a,b)是平面区域内的任意一点,则3a-b的最小值为( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
答案 B
解析 根据题意可知(a,b)在如图阴影中,设z=3a-b.则b=3a-z,所以-z可以理解为y=3x+t中的纵截距t.因而当y=3x+t过点(0,2)时,t最大为2.即-z最大为2,所以z最小为-2.
6.若x,y满足约束条件则z=x+3y的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,3]
C.[3,+∞) D.[2,+∞)
答案 D
解析 作不等式组表示的平面区域,如图.
平移直线x+3y=0到点A时,z取得最小值,由解得点A,,所以zmin=+=2,无最大值.故选D.
7.在如图所示的平面区域内有A(5,3),B(1,1),C(1,5)三点,若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的值是( )
A. B.
C.2 D.
答案 B
解析 由题意知,当z=ax+y与直线AC重合时最优解有无穷多个.因为kAC=-,所以-a=-,即a=.故选B.
8.已知实数x,y满足约束条件则|y-x|的最大值是( )
A.2 B. C.4 D.3
答案 D
解析
画出不等式组表示的平面区域(如图),计算得A(1,2),B(4,1),当直线z=x-y过点A时zmin=-1,过点B时zmax=3,则-1≤x-y≤3,则|y-x|≤3.
9.不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 由不等式2x+y<6,得y<6-2x,且x>0,y>0,则当x=1时,01)的图象上的点,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.(1,3)
C.[3,+∞) D.(1,3]
答案 C
解析 作不等式组表示的平面区域D,如图中阴影部分所示.
由解得点A(3,1).
由a>1,对数函数的图象经过可行域,此时满足loga3≤1,解得a≥3,所以实数a的取值范围是[3,+∞),故选C.
12.已知实数x,y满足则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为________.
答案
解析
目标函数w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x,y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又=,所以wmin=.
二、高考小题
13.(2018·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( )
A.6 B.19 C.21 D.45
答案 C
解析 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).
作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21.故选C.
14.(2018·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为________.
答案 9
解析 不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域,如图所示,由图可知目标函数z=x+y的最大值在顶点A处取得,即当x=5,y=4时,zmax=9.
15.(2018·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件
则z=3x+2y的最大值为________.
答案 6
解析 根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:
由z=3x+2y可得y=-x+z,画出直线y=-x,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线过点B时,z取得最大值,由解得B(2,0),此时zmax=3×2+0=6.
16.(2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是________.
答案 3
解析 作出可行域如图阴影部分.
由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.
17.(2018·浙江高考)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是________,最大值是________.
答案 -2 8
解析 由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)
为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-x+过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.
18.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________.
答案 3
解析 由x+1≤y≤2x作出可行域,如图中阴影部分所示.设z=2y-x,则y=x+z,当直线y=x+z过A(1,2)时,z取得最小值3.
三、模拟小题
19.(2018·山西太原模拟)已知实数x,y满足
则z=2x-2y-1的取值范围是( )
A.,5 B.[0,5]
C.,5 D.-,5
答案 D
解析 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是-,5.
20.(2018·南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx经过区域M内的点,则实数k的取值范围为( )
A.,2 B.,
C.,2 D.,2
答案 C
解析 作不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示:
由得A(1,2),由得B(2,1),平面区域M即为图中阴影部分△ABC,直线y=kx经过区域M内的点A时,k=2,直线y=kx经过区域M内的点B时,k=,故≤k≤2,故选C.
21.(2018·长沙统考)已知x,y满足约束条件
若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.2 B. C.-2 D.-
答案 A
解析
作不等式组表示的平面区域如图.当直线l:y=-ax+z经过△AOB区域时,l在y轴上的最大截距为4,则点B(2,0)为最优解,所以z=2a=4,即a=2,故选A.
22.(2018·太原模拟)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 A
解析 作平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如图1所示.该平面区域表示正方形ABCD内部(含边界).令z=ax-2by,因为ax-2by≤2恒成立,则函数z=ax-2by在该平面区域要求的条件下,zmax=2恒成立.当直线ax-2by-z=0过点A(-1,1)或B(1,1)或C(1,-1)或D(-1,-1)时,有
再作该不等式组表示的可行域,即菱形EFGH内部(含边界).如图2所示.其中H(-2,0),F(2,0),E(0,1),G(0,-1),所以动点P(a,b)所形成平面区域的面积为×4×2=4.故选A.
23.(2018·湖北八市联考)已知x,y满足若z=x+2y有最大值4,则实数m的值为( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.1
答案 B
解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界),如图阴影部分所示.依题意,有直线y=-x+的纵截距有最大值2,则结合图形可知需满足直线2x-y=m过点(0,2),从而m=2×0-2=-2,故选B.
24.(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=的最小值为( )
A.-1 B.-
C. D.-
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意知πr2=π,解得r=2.z==1+,易知表示可行域内的点(x,y)与点P(-3,2)的连线的斜率,由图可知当点(x,y)与点P的连线与圆x2+y2=r2相切时斜率最小.设切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,则有=2,解得k=-或k=0(舍),所以zmin=1-=-.故选D.
25.(2018·河北石家庄质检)设变量x,y满足约束条件则的最大值为________.
答案 3
解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域,则表示可行域内点P(x,y)与B(0,-1)的连线的斜率,由图知,当P位于A(1,2)时,
取得最大值=3.
26.(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两个工种,已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元,生产一张桌子的利润为2000元,该厂每个月木工最多完成8000个工作时,漆工最多完成1300个工作时,根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元.
答案 2100000
解析 依题意,设每个月生产x把椅子、y张桌子,那么利润t=1500x+2000y.其中x,y满足约束条件
可行域如图中阴影部分所示,对于不同的t值,t=1500x+2000y表示一组斜率为-的平行线,且t越大,相应的直线位置越高;t越小,相应的直线位置越低.依题意,要求t的最大值,需把直线t=1500x+2000y尽量地往上平移,又考虑到x,y的允许范围,显然当直线通过点B时,处在这组平行线的最高位置,此时t取最大值.由得点B(200,900),从而tmax=1500×200+2000×900=2100000(元),即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元.
一、高考大题
1.(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点.
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值就最大.
又因为x,y满足约束条件,所以由图②可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得则点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时,才能使总收视人次最多.
二、模拟大题
2.(2018·广东佛山月考)若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.
解 (1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移初始直线x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.∴z的最大值为1,最小值为-2.
(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4