2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量的数量积运算 11页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：空间向量的数量积运算 一、单选题 1．在棱长为 1 的正方体 1111A B C D A BC D 中，设 AB  a ，AD  b ， 1AA  c ，则 ()a b c 的值为（ ） A． 1 B． 0 C． 1 D． 2 【答案】B 【解析】 ()0abcabac ． 故选 B． 2．已知 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 π 3 ，那么 | 3 | ab（ ） A． 7 B． 10 C． 13 D．4 【答案】C 【解析】因为 均为单位向量，它们的夹角为 ， 所以 222 π|3 |961 9 6 1 1 cos13,313 3       ababa bab ， 故选 C. 3．三棱锥 A•BCD 中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则 A B CD 等于（ ） A．－2 B．2 C． 23 D． 23 【答案】A 【解析】 CDADAC，  · · · · 0 2 2 cos60 2AB CD AB AD AC AB AD AB AC     ， 故选 A 4．在正方体 1 111ABCDA BC D 中，有下列命题：① 22 1()3AAADABAB ；②  1 1 1 1 0AC A B A A   ； ③ 1AD 与 1AB的夹角为60 . 其中正确命题的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 【解析】根据数量积的定义知：①②正确， 与 的夹角为 ，∴③不正确， 故选 C. 5．已知四面体 A-BCD 的所有棱长都是 2,点 E,F 分别是 AD,DC 的中点,则 E F B A（ ） A．1 B．-1 C． 3 D． 3 【答案】B 【解析】由题意可得 1 2E F A C ， 所以 1122cos120122EFBAACBA   ． 故选 B． 6．已知正四面体 A B C D 的棱长为 2，则 A B C D（ ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图，取 CD 中点 E ，连接 ,A E B E ，则 ,CDAECDBE， AE BE EI ， ∴CD  平面 ABE ，于是有CDAB ，∴ 0ABCD． 故选 B. 7．三棱锥 ABCD 中， 2AB AC AD   ， 90BAD   ， 90BAC，则 AB CD 等于（ ） A．0 B．2 C． 23 D． 23 【答案】A 【解析】因为 90BAD   ， 90BAC， 即 A B A D ， A B A C ， 所以 0ABADABAC，  ABCDABADAC ABADABAC 0 0 0 故选 A ． 8．若空间四边形 O A B C 的四个面均为等边三角形，则cos, OABC 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 1 2 D．0 【答案】D 【解析】依题意空间四边形 的四个面均为等边三角形，设棱长均为 a . 而 BCOCOB， 则   22coscos033OA OC OBOA OC OA OBaa  所以  cos , 0 OA OC OBOA BCOA BC OA BC OA BC     . 故选 D 9．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 ，点 ,EF分别是 ,BC AD 的中点，则 AE AF 的值为（ ） A． 2a B． 21 2 a C． 21 4 a D． 23 4 a 【答案】C 【解析】 11()22ABACAEAF AD  1 ()4 AB AD AC AD     22211cos60cos6044aaa  故选 C 10．已知 a + b + c = 0 ，| |=2，| |=3，| |=4，则向量 与 之间的夹角 a＜ ， b＞ 为（ ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【解析】∵ + + = ，| |=2，| |=3，| |=4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC； 令 AB = ， AC = ， BC = ， 则△ABC 三边之长分别为 BC=2，CA=3，AB=4； 由余弦定理，得： cos∠BCA= 2 2 2 2 BC CA AB BC CA   = 222234 223   =﹣ 1 4 ， 又向量 和 CA 是首尾相连， ∴这两个向量的夹角是 180°﹣∠BCA， ∴cos＜ ， ＞= ， 即向量 与 之间的夹角 ， 不是特殊角． 故选 D． 11．在正方体 1111ABCDA BC D 中，下列结论错误的是（ ） A． 22 1 1 1 1 1 1 1( ) 3A A A D A B A B   B． 1 1 1 1( ) 0AC A B A A   C．向量 1AD 与 1AB uuur 的夹角是 120 D．正方体 的体积为 1||ABAAAD 【答案】D 【解析】正方体 如图， 由正方体的性质得 1111111A AA DA BA DAAA CCD , 2222 111 11133CCBAA BAA ，故 A 正确； 1111A B A A A B ，由 1A B B C ， 11A B A B 可得 1AB  平面 1A B C ， 则 11ABAC ，所以 11 0ACAB 即 1111 ()0ACA BA A ，故 B 正确； 由正方体性质可得 11//ADBC ，易知 11B C A△ 为等边三角形，所以 1160A BC，所以向量 1AD 与 1AB uuur 的夹角是 120 ，故 C 正确； 因为 1ABAA ，所以 1||0ABAAAD ，故 D 错误. 故选 D. 12．如图，三棱柱 111ABCA BC 中，底面边长和侧棱长都相等， 1160BAA CAA    ，则异面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为（ ） A． 30 6 B． 6 3 C． 3 3 D． 6 6 【答案】D 【解析】三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，底面边长和侧棱长都相等， 1160BAACAA ， 设棱长为 1，则 111cos60 2ABAC  ， 1 111cos60 2ABAA  ， 1 111cos60 2ACAA  . 11A B A B A A ， 11BCAAACAB ， 所以    1111ABBCABAAAAACAB 22 1111ABAAABACABAAAAACAAAB 1111 1112222 而  2 22 1111 23ABABAAABABAAAA ，  2 11 1 1 1 1 1 12BCAAACAB     ， 所以 11 11 11 16cos 623 ABBCABBC ABBC   ， 故选 D. 二、填空题 13．如图，在长方体 1111ABCDA BC D 中，设 1 1AD AA， 2AB  ，则 1ACAC_____． 【答案】5 【解析】由题意得    11 5AC AC AB AD AA AD AB AD AD AB AB           ． 故填5 14．如图所示，在空间四边形 A B C D 中， 90B C D   ， 3CD  ， 4BC  ， M ， N 分别为 AB ， AD 的中点，则 M N D C________________． 【答案】 9 2 【解析】由题易知 5BD  ， 3c os 5B D C， 所以  1119 cos,53cos π2222MN DCBD DCBD DCBD DCBDC   ． 故填 9 2 . 15．四棱柱 1111ABCDA BC D 中， 111 60 ,1A ABA ADDABA AABAD   ，则 1AC  __________． 【答案】 6 【解析】 11ACABADAA ，所以    2 222 11111 2ACAB AD AAABADAAAB AD AD AA AB AA 111121136 2   ， 故填 6 . 16．已知|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则 a·c+b·c+a·b=_____. 【答案】 3 .2 【解析】设 a c b c a b x      , 则      2x a b c b c a c a b      2 2 2| | | | 3c a b      . 解得 x= 3 .2 故填 3 2 . 17．已知：如图，在 60 的二面角的棱上有 AB、 两点，直线 A C B D、 分别在这个二面用的两个半平面 内，且都垂直 AB ，已知 4,6,8ABACBD ，则 CD  __________． 【答案】 2 1 7 【解析】CDCAABBD ， 所以    22222 2CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BD ， 21636642 06 8 cos011648683   ，所以 2 17CD  ， 故填 . 18．在平行六面体（即六个面都是平行四边形的四棱柱） 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1AB  ， 1AD  ， 1 1AA  ，又 1160BAD A AD A AB       ，则 1C AB 的余弦值是________． 【答案】 6 3 【解析】由题意，画出平行六面体， 连接 1BC ， 1AC ， 则  2 1 1 1AC AB AD AA AB AD AA      222 111 222ABADAAABADABAAADAA ， 因为 1AB  ， 1AD  ， 1 1AA  ， 1160BADA ADA AB   ， 所以 111 1112cos2cos2cos6ACBADBAADAA ， 又 22 111111 2112cos3BCADADAAADAAAD AADAA ， 所以 222 11 1 1 6136cos 23261 ACABBCC AB ACAB     . 故填 6 3 . 三、解答题 19．在平行四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠D=60°，PA⊥平面 ABCD，PA=6，求 PC 的长. 【解析】因为 PCPAADDC ， 所以| PC |2= 2 PC =( PAADDC)2 =| PA |2+| AD |2+| DC |2+2 ·P A A D +2 ·P A D C +2 ·A D D C =62+42+32+2| AD || DC |cos 120° =61-12=49， 所以| PC |=7，即 PC=7. 20．如图所示，已知 P 是 ABC△ 所在平面外一点， ,,PAPC PBPC PAPB ，求证： 在平面 ABC 上的射影 H 是 的垂心． 【解析】∵ ,,PAPCPBPCPAPB ， ∴ 0P A P C， 0P B P C， 0P A P B， PA  平面 PBC ， ∴ 0PA BC. 由题意可知， PH  平面 ABC ， ∴ 0P H B C， 0P H A B， 0P H A C， ∴   0AH BCPHPABCPH BCPA BC ， ∴ AHBC . 同理可证 BHAC ，CHAB . ∴ H 是 ABC△ 的垂心． 21．如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 D1C1 的中点，试求 11AC DE与 所成角的余弦值. 【解析】设正方体的棱长为 1， AB =a， AD =b， 1AA =c， 则|a|=|b|=|c|=1，a·b=b·c=c·a=0. ∵ 11ACACABAD =a+b， 1 1 1 1 1 1 2DE DD D E DD D C    =c+ 1 2 a， ∴ 11·A C DE =(a+b)· 1 2ca =a·c+b·c+ 1 2 a2+ 1 2 a·b= 1 2 a2= 1 2 . 又∵| 11AC |= 2 ，| DE |= 2151 22  ， ∴cos< 11,AC D E >= 11 11 AC |AC || DE | DE = 1 2 52 2 = 10 10 ， ∴ 11AC DE与 所成角的余弦值为 10 10 . 22．如图，在平行四边形 ABCD中， 2AB  ， 2AC  ， 90ACD  ，沿着它的对角线 AC 将 ACD△ 折起，使 AB 与CD 成60角，求此时 B ， D 之间的距离． 【解析】因为 ，所以 0ACCD， 0ACBA． 因为 与 成 60 角， 所以 ,60BACD <>或 ,120BACD <>． 因为 BD BA AC CD   ，所以 2222|| ||||||222BDBAACCDBA ACBA CDAC CD ， 所以 2222||2( 2)20 2 2 2 cos,0 10 8cos,BDBA CDBA CD      <><> ． 当 时， 2||108cos,108cos6014BDBA CD  <> ，即||14BD  ； 当 , 120BA CD <>时， 2||108cos,108cos1206BDBA CD  <> ，即| | 6BD  ． 综上，可知 ， 之间的距离为 14 或 6 ．