【数学】2020届一轮复习（文）通用版9-4双曲线及其性质作业 10页

§9.4　双曲线及其性质 挖命题 【考情探究】 5 年考情考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 预测热 度 双曲线的定义及其 标准方程 2015 课标Ⅰ,16,5 分 双曲线的定义 双曲线的标准方程,三角形 的性质 双曲线的几何性质 2018 课标全国Ⅱ,6,5 分 双曲线的渐近线 双曲线的标准方程,离心率 直线与双曲线的位 置关系 了解双曲线的 定义、几何性 质和标准方程, 知道它的简单 几何性质 2018 课标全国Ⅲ,10,5 分 双曲线的几何性 质 双曲线的标准方程,点到直 线的距离 ★★★ 分析解读　　从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考 考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为 5 分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问 题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用. 破考点 【考点集训】 考点一　双曲线的定义及其标准方程 1.(2018 广东肇庆二模,4)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程 为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. 푥2 8 - 푦2 8 =1B. 푥2 16- 푦2 16=1 C. 푦2 8 - 푥2 8 =1 D. 푥2 8 - 푦2 8 =1 或 푦2 8 - 푥2 8 =1 答案　A　 2.(2017 天津,5,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原 点),则双曲线的方程为(　　) A. 푥2 4 - 푦2 12=1 B. 푥2 12- 푦2 4 =1 C. 푥2 3 -y2=1 D.x2- 푦2 3 =1 答案　D　 3.已知点 P 在曲线 C1: 푥2 16- 푦2 9 =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C　 考点二　双曲线的几何性质 1.(2019 届福建泉州五中 11 月月考,6)已知双曲线的方程为 푥2 4 - 푦2 9 =1,则下列关于双曲线的说法正确的是(　　) A.虚轴长为 4 B.焦距为 2 5 C.离心率为 13 3 D.渐近线方程为 3x±2y=0 答案　D　 2.(2018 河南信阳二模,4)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3, 3),则双曲线的离心率为(　　) A. 2 3 3 B.2 C. 2 3 3 或 2 D. 3或 2 答案　A　 3.(2015 重庆,9,5 分)设双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点. 若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　) A.± 1 2 B.± 2 2 C.±1 D.± 2 答案　C　 考点三　直线与双曲线的位置关系 1.(2017 贵州贵阳模拟,7)已知双曲线 x2-y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,动直线 l:y=kx+m 与圆 x2+y2=1 相切,且与双曲线左、右两 支的交点分别为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 x2-x1 的最小值为(　　) A.2 2 B.2 C.4 D.3 2 答案　A　 2.若双曲线 E: 푥2 푎2-y2=1(a>0)的离心率为 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若|AB|=6 3,求 k 的值. 解析　(1)由{푐 푎 = 2, 푎2 = 푐2 - 1 得{푎2 = 1, 푐2 = 2, 故双曲线方程为 x2-y2=1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由{푦 = 푘푥 - 1, 푥2 - 푦2 = 1得(1-k2)x2+2kx-2=0①. ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点, ∴{1 - 푘2 ≠ 0, 훥 = (2푘)2 + 8(1 - 푘2) > 0, 푥1 + 푥2 = - 2푘 1 - 푘2 > 0, 푥1푥2 = - 2 1 - 푘2 > 0, 解得 10,b>0)与椭圆 푥2 12+ 푦2 4 =1 有公共焦点,且双曲线的一条渐近线方程为 y= 3x,则该双曲线的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A. 푥2 4 - 푦2 12=1 B. 푥2 12- 푦2 4 =1 C. 푥2 6 - 푦2 2 =1 D. 푥2 2 - 푦2 6 =1 答案　D　 2.(2018 天津和平一模,6)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 3 2,过右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 M.若△FOM 的面积为 5,其 中 O 为坐标原点,则双曲线的方程为(　　) A.x2- 4푦2 5 =1 B. 푥2 2 - 2푦2 5 =1 C. 푥2 4 - 푦2 5 =1 D. 푥2 16- 푦2 20=1 答案　C　 3.已知双曲线的渐近线方程为 y=± 1 2x,且双曲线经过点 A(2,-3),则双曲线的标准方程为　　　　　　. 答案　 푦2 8 - 푥2 32=1 4.设动圆 C 与两圆 C1:(x+ 5)2+y2=4,C2:(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心 C 的轨迹方程为　　　　　　　　. 答案　 푥2 4 -y2=1 方法 2　求双曲线的离心率(或取值范围)的方法 1.(2017 课标全国Ⅱ,5,5 分)若 a>1,则双曲线 푥2 푎2-y2=1 的离心率的取值范围是(　　) A.( 2,+∞) B.( 2,2) C.(1, 2) D.(1,2) 答案　C　 2.(2019 届湖南湖北八市十二校第一次调研,8)设双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(00,b>0)的左焦点 F(-c,0)作圆 x2+y2=a2 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线于 点 P,若 E 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为(　　) A. 5 B. 5 2 C. 5+1 D. 5 + 1 2 答案　A　 4.(2018 广东茂名模拟,9)已知 F1,F2 是双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 B,A,若 △ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(　　) A. 7 B.4 C. 2 3 3 D. 3 答案　A　 过专题 【五年高考】 A 组　统一命题·课标卷题组 考点一　双曲线的定义及其标准方程 1.(2015 课标Ⅰ,16,5 分)已知 F 是双曲线 C:x2- 푦2 8 =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积 为　　　　. 答案　12 6 2.(2015 课标Ⅱ,15,5 分)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± 1 2x,则该双曲线的标准方程为　 . 答案　 푥2 4 -y2=1 考点二　双曲线的几何性质 1.(2018 课标全国Ⅱ,6,5 分)双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐近线方程为(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=± 2 2 x D.y=± 3 2 x 答案　A　 2.(2018 课标全国Ⅲ,10,5 分)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为(　　) A. 2 B.2 C. 3 2 2 D.2 2 答案　D　 3.(2017 课标全国Ⅰ,5,5 分)已知 F 是双曲线 C:x2- 푦2 3 =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面 积为(　　) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 答案　D　 4.(2014 课标Ⅰ,4,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 3 =1(a>0)的离心率为 2,则 a=(　　) A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 答案　D　 5.(2017 课标全国Ⅲ,14,5 分)双曲线 푥2 푎2- 푦2 9 =1(a>0)的一条渐近线方程为 y= 3 5x,则 a=　　　　. 答案　5 B 组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　双曲线的定义及其标准方程 1.(2018 天津,7,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲 线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A. 푥2 3 - 푦2 9 =1B. 푥2 9 - 푦2 3 =1 C. 푥2 4 - 푦2 12=1 D. 푥2 12- 푦2 4 =1 答案　A　 2.(2016 天津,4,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为(　　) A. 푥2 4 -y2=1B.x2- 푦2 4 =1 C. 3푥2 20 - 3푦2 5 =1 D. 3푥2 5 - 3푦2 20 =1 答案　A　 3.(2016 北京,12,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( 5,0),则 a=　　　;b=　　　　. 答案　1;2 4.(2016 浙江,13,4 分)设双曲线 x2- 푦2 3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范 围是　　　　. 答案　(2 7,8) 考点二　双曲线的几何性质 1.(2018 浙江,2,4 分)双曲线 푥2 3 -y2=1 的焦点坐标是(　　) A.(- 2,0),( 2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- 2),(0, 2) D.(0,-2),(0,2) 答案　B　 2.(2015 湖北,9,5 分)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的 双曲线 C2,则(　　) A.对任意的 a,b,e1b 时,e1e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a0,b>0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2 c,则其离心率的值 是　　　　. 答案　2 4.(2018 北京,12,5 分)若双曲线 푥2 푎2- 푦2 4 =1(a>0)的离心率为 5 2 ,则 a=　　　　. 答案　4 5.(2016 江苏,3,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 푥2 7 - 푦2 3 =1 的焦距是　　　　. 答案　2 10 C 组　教师专用题组 考点一　双曲线的定义及其标准方程 1.(2014 天津,6,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程 为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A. 푥2 5 - 푦2 20=1 B. 푥2 20- 푦2 5 =1 C. 3푥2 25 - 3푦2 100=1 D. 3푥2 100- 3푦2 25 =1 答案　A　 2.(2010 全国Ⅰ,8,5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B　 3.(2014 北京,10,5 分)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程为　　　　. 答案　x2-y2=1 考点二　双曲线的几何性质 1.(2015 四川,7,5 分)过双曲线 x2- 푦2 3 =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=(　　) A. 4 3 3 B.2 3 C.6 D.4 3 答案　D　 2.(2015 安徽,6,5 分)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是(　　) A.x2- 푦2 4 =1B. 푥2 4 -y2=1 C.x 2- 푦2 2 =1 D. 푥2 2 -y2=1 答案　A　 3.(2014 广东,8,5 分)若实数 k 满足 00,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3,则 C 的焦距等于(　　) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案　C　 5.(2014 重庆,8,5 分)设 F1、F2 分别为双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲 线的离心率为(　　) A. 2 B. 15 C.4 D. 17 答案　D　 6.(2013 课标Ⅰ,4,5 分)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 5 2 ,则 C 的渐近线方程为(　　) A.y=± 1 4x B.y=± 1 3x C.y=± 1 2x D.y=±x 答案　C　 7.(2012 课标全国,10,5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实 轴长为(　　) A. 2 B.2 2 C.4 D.8 答案　C　 8.(2015 北京,12,5 分)已知(2,0)是双曲线 x2- 푦2 푏2=1(b>0)的一个焦点,则 b=　　　　. 答案　 3 9.(2015 山东,15,5 分)过双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的 离心率为　　　　. 答案　2+ 3 10.(2014 山东,15,5 分)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准 线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 答案　x±y=0 11.(2014 浙江,17,4 分)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则 该双曲线的离心率是　　　　. 答案　 5 2 考点三　直线与双曲线的位置关系 　(2014 湖北,8,5 分)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ=0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 푥2 cos2θ- 푦2 sin2θ=1 的公共点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A　 【三年模拟】 时间:60 分钟　分值:70 分 一、选择题(每小题 5 分,共 55 分) 1.(2019 届广东顶级名校期中联考,7)中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆 푥2 9 + 푦2 4 =1 有相同的焦距,其中的一条渐近线方程 为 x-2y=0,则双曲线 C 的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A. 푥2 4 -y2=1 或 y2- 푥2 4 =1 B.x2- 푦2 4 =1 或 y2- 푥2 4 =1 C. 푥2 4 -y2=1 D.y2- 푥2 4 =1 答案　A　 2.(2019 届河北冀州中学 11 月月考,7)双曲线 my2-x2=1 的一个顶点在抛物线 y= 1 2x2 的准线上,则该双曲线的离心率为(　　) A. 5 B.2 5 C.2 3 D. 3 答案　A　 3.(2019 届河南顶级名校第三次联考,10)已知双曲线 푥2 푚- 푦2 2 =1 的渐近线被圆 x2+y2+4y=0 截得的弦长为 4 5 5 ,则正实数 m 的值为(　　) A.8 B.4 C.1 D. 1 2 答案　A　 4.(2019 届河南名校联盟 11 月联考,8)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>b>0)的两条渐近线与圆 O:x2+y2=5 交于 M,N,P,Q 四点,若四边形 MNPQ 的面积为 8,则双曲线 C 的渐近线方程为(　　) A.y=± 1 4x B.y=± 1 2x C.y=± 2 2 x D.y=± 2 4 x 答案　B　 5.(2018 湖南师大附中 12 月联考,10)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,正三角形 AF1F2 的边 AF1 与双曲线 左支交于点 B,且퐴퐹1=4퐵퐹1,则双曲线 C 的离心率为(　　) A. 3 2 +1 B. 3 + 1 2 C. 13 3 +1 D. 13 + 1 3 答案　D　 6.(2018 广东广州调研,11)已知双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,左、右顶点分别为 A,B,点 P 是双曲线上异于 A,B 的点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,则 kPA·kPB=(　　) A.1 B. 2 2 C. 3 6 D.3 答案　A　 7.(2018 豫北、豫南 12 月联考,11)已知直线 y=x+1 与双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 的横坐标为 1,则该 双曲线的离心率为(　　) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案　B　 8.(2019 届河南信阳调研,11)双曲线 E: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1 的半焦距为 c,F1、F2 分别为双曲线 E 的左、右焦点,若双曲线 E 上存在点 P,使得 푃퐹1·푃퐹2=- 푐2 2 ,则双曲线 E 的离心率的取值范围是(　　) A.(1, 3] B.[ 3,+∞) C.(1, 2] D.[ 2,+∞) 答案　D　 9.(2019 届安徽皖南八校第一次联考,9)已知 F1、F2 是双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左支交于点 A, 与右支交于点 B,若|AF1|=2a,∠F1AF2= 2π 3 ,则 푆△ 퐴퐵퐹2 푆△ 퐴퐹1퐹2 =(　　) A. 1 2 B. 1 3 C.2 D.3 答案　C　 10.(2018 河北唐山一模,8)已知 F 为双曲线 C: 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点.过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线 于点 B.若|OF|=|FB|,则 C 的离心率是(　　) A. 6 2 B. 2 3 3 C. 2 D.2 答案　B　 11.(2019 届湖北襄阳重点中学第一次月考,11)已知双曲线 푥2 9 - 푦2 푏2=1(b>0)的左顶点为 A,虚轴长为 8,右焦点为 F,且☉F 与双曲线的渐近 线相切,若过点 A 作☉F 的两条切线,切点分别为 M,N,则|MN|=(　　) A.8 B.4 2 C.2 3 D.4 3 答案　D　 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 12.(2019 届河北石家庄二中 10 月月考,15)已知双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 是双曲线右支上的一点,若 MF1⊥MF2 且|MF2|=b,则双曲线渐近线的方程为　　　　　　. 答案　y=±2x 13.(2018 山西太原一模,15)过双曲线 푥2 푎2- 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为 2 的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的 取值范围为　　　　. 答案　(1, 5) 14.(2017 河北唐山调研,15)已知双曲线 푥2 3 -y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为双曲线右支上一点,点 Q 的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1| 的最小值为　　　　. 答案　5+2 3