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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教A版 解三角形的综合应用 作业
一、选择题
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析:选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.一艘船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为( )
A.15 km B.30 km
C.45 km D.60 km
解析:选B.如图所示,依题意有AB=15×4=60,∠DAC=60°,∠CBM=15°,
所以∠MAB=30°,∠AMB=45°.
在△AMB中,由正弦定理,得=,
解得BM=30,故选B.
3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为( )
A.8 km/h B.6 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
解析:选B.设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ==,从而cos θ=,所以由余弦定理得=+12-2××2×1×,解得v=6.
4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
解析:选B.依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),
所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
=
==,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
5.(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°,小高层底部的俯角为45°,那么这栋小高层的高度为( )
A.20m B.20(1+)m
C.10(+)m D.20(+)m
【答案】B
【解析】如图,设AB为阳台的高度,CD为小高层的高度,AE为水平线.由题意知AB=20 m,∠DAE=45°,∠CAE=60°,故DE=20 m,CE=20 m.所以CD=20(1+)m.故选B.
6.(2018武汉武昌区调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )
A.14 h B.15 h
C.16 h D.17 h
【答案】B
【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120 t+1 575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).故选B.
7.(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得sin2A<sin2B+sin 2C,再由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0.则cos A=>0,因为0<A<π,所以0<A<.又a为最大边,所以A>.因此角A的取值范围是.故选D.
二、填空题
8.(2018贵阳模拟)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.
【答案】50
【解析】如图,连接OC,在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°.
由余弦定理,得OC2=1002+1502-2×100×150×cos 60°=17 500,解得OC=50.
9.(2018河南三门峡一模)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两船之间的距离是________n mile.
【答案】70
【解析】设两船之间的距离为d,则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900,解得d=70,即两船相距70 n mile.
10.(2019德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向,它向正北方向航行24海里到达B处,看灯塔S在北偏东75°方向.则此时货轮到灯塔S的距离为________海里.
【答案】12
【解析】根据题意知,在△ABS中,AB=24,∠BAS=30°,∠ASB=45°,由正弦定理,得=,
∴BS==12 ,故货轮到灯塔S的距离为12 海里.
11.(2018河南调研)如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.
【答案】1 000
【解析】由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-15°=30°,∴∠ASB=135°.在△ABS中,由正弦定理可得=,∴AB=1 000 ,∴BC==1 000.
12.(2018北京朝阳区质检)如图,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点
C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________;塔BB1的高为________m.
【答案】 45
【解析】设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tan α,BB1=60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,∴△A1AC∽△CBB1,∴=,
∴AA1·BB1=900,∴3 600tan αtan 2α=900,∴tan α=,tan 2α=,∴BB1=60tan 2α=45.