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- 2021-06-16 发布
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第2讲 空间图形的基本关系与公理
一、选择题
1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点.
答案 A
2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是 ( ).
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、异面或相交
解析 经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.
答案 D
3.平面α、β的公共点多于两个,则
①α、β垂直;
②α、β至少有三个公共点;
③α、β至少有一条公共直线;
④α、β至多有一条公共直线;
以上四个判断中不成立的个数为n,则n等于( )
A.0 B.1[来源:学,科,网Z,X,X,K]
C.2 D.3
解析 由条件知当平面α、β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α、β相交;若公共点不共线,则α、β重合.故①不一定成立;②成立;③成立;④不成立.
答案 C
4.正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是AA1,CC1的中点,P是CC1上的动点(包括端点),过点E、D、P作正方体的截面,若截面为四边形,则P的轨迹是( )
A.线段C1F B.线段CF
C.线段CF和一点C1 D.线段C1F和一点C[来源:Z§xx§k.Com]
解析:如图,
DE∥平面BB1C1C,
∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED,连结EM,
易证MP=ED,
∴MP綊ED,则M到达B1时仍可构成四边形,即P到F.而P在C1F之间,不满足要求.P到点C1仍可构成四边形.
答案:C
5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中 ( ).
A.AB∥CD
B.AB与CD相交
C.AB⊥CD
D.AB与CD所成的角为60°
解析 如图,把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图(b)所示的直观图,可见选项A、B、C不正确.∴正确选项为D.图(b)中,DE∥AB,∠CDE为AB与CD所成的角,△CDE为等边三角形,∴∠CDE=60°.
答案 D
6.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
解析:在A图中分别连接PS,QR,
易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;
在C图中分别连接PQ,RS,
易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.
如图,在B图中过P,Q,R,S可作
一正六边形,故四点共面;
D图中PS与QR为异面直线,∴四点不共面,故选D.
答案:D
二、填空题
7.已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
解析 只有当a∥b时,a,b在α上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余都有可能.
答案 ①②④
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
答案 ③④
9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件________________时,四边形EFGH是正方形.
解析 易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.
答案 AC=BD AC=BD且AC⊥BD
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
解析 法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.
法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
答案 无数
三、解答题
11. 如图所示,四边形ABEF和ABCD
都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綉AD,BE綉FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綉AD.
又BC綉AD,∴GH綉BC,∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 由BE綉AF,G为FA中点知,BE綉FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.
(1)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?并说明理由;
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈,这样的直线有几条,应该如何作图?
解 (1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线,如图(a).
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线BD.
图(a)
(2)∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m
为所求作的直线,如图(b).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈.
当α=时,这样的直线m有且只有一条,当α≠时,这样的直线m有两条.
图(b)
13. 如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K,求证:M、N、K三点共线.
证明 ∵M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂面BCD,∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在面PQR与面BCD的交线l上.
同理可证:N、K也在l上.∴M、N、K三点共线.
14.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解 (1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PO⊥面ABCD,
∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角,
即∠PBO=60°,在Rt△POB中,
∵BO=AB·sin 30°=1,
又PO⊥OB,∴PO=BO·tan 60°=,
∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2.
∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=2.
(2)取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点,∴EF∥PA,
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).在Rt△AOB中,
AO=AB·cos 30°==OP,
∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.
在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=,
∴cos∠DEF====.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.