【数学】2020届一轮复习人教B版（文）28直线方程与两直线的位置关系作业 9页

天天练28　直线方程与两直线的位置关系 小题狂练 一、选择题 ‎1．“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：设直线ax＋y－3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a，因为直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于，所以－a>1或－a<0，解得a<－1或a>0，所以“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于”的充分不必要条件．‎ ‎2．[2019·甘肃张掖月考]直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A．[0，π) B.∪ C. D.∪ 答案：B 解析：直线xsinα＋y＋2＝0的斜率为k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴倾斜角的取值范围是∪，故选B.‎ ‎3．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．0或－2 D．－1或2‎ 答案：D 解析：若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x ‎＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；‎ 当a≠0时，两直线平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.‎ ‎4．过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为(　　)‎ A．2x＋y－5＝0‎ B．2x－y－3＝0‎ C．x＋2y－4＝0‎ D．x－2y＝0‎ 答案：A 解析：过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线为过点P(2,1)且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为＝，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x＋y－5＝0.‎ ‎5．[2019·四川成都月考]当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　)‎ A. B．0‎ C．－1 D．1‎ 答案：C 解析：直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2,1)，所以点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直直线，即m·＝－1，∴m＝－1，故选C.‎ ‎6．[2019·河南新乡模拟]三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)‎ A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0‎ C．k∈R且k≠±5，k≠－10‎ D．k∈R且k≠±5，k≠1‎ 答案：C 解析：由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.‎ ‎7．[2019·银川模拟]若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B 解析：由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，∴l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.‎ ‎8．已知a，b满足2a＋3b＝1，则直线4x＋ay－2b＝0必过的定点为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：由2a＋3b＝1得a＝.将a＝代入直线方程4x＋ay－2b＝0，整理得8x＋y－b(3y＋4)＝0，令解得故直线4x＋ay－2b＝0必过定点，选D.‎ 二、非选择题 ‎9．已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.‎ 答案：－2‎ 解析：因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即(－1)·＝－1，解得a＝－2.‎ ‎10．[2019·广东惠阳月考]已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．‎ 答案： 解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，即6x＋8y－14＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，d＝＝.‎ ‎11．已知点A(－1，t)，B(t,4)，若直线AB的斜率为2，则实数t的值为________．‎ 答案： 解析：由题意知，kAB＝2，即＝2，解得t＝.‎ ‎12．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n>0)互相垂直，则的取值范围为________．‎ 答案： 解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m>0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1．直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B 解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2·cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．又θ∈[0，π)，所以θ∈ ‎，即倾斜角的取值范围是.‎ ‎2．[2019·贵州遵义四中第一次月考]“a＝2”是“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：a＝2时，直线2x＋3y－1＝0和直线6x＋4y－3＝0不垂直，不是充分条件；直线ax＋3y－1＝0和直线6x＋4y－3＝0垂直时，由6a＋3×4＝0可得a＝－2，所以不是必要条件，故选D.‎ ‎3．若<α<2π，则直线＋＝1一定不经过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：通解　将直线方程化为斜截式得y＝－x＋sinα，因为<α<2π，所以－>0，sinα<0，所以直线＋＝1一定不经过第二象限．故选B.‎ 优解　由<α<2π得cosα>0，sinα<0，则直线在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以直线＋＝1一定不经过第二象限．故选B.‎ ‎4．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值为(　　)‎ A．1或3 B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ 答案：C 解析：当k＝4时，直线l1：x＋1＝0，直线l2：2x－2y＋3＝0，两直线不平行；当k≠4时，＝k－3，≠，解得k ‎＝3或5.‎ ‎5．[2019·唐山模拟]已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)‎ A．2x＋3y＋5＝0 B．2x－3y＋5＝0‎ C．3x＋2y＋5＝0 D．3x－2y＋5＝0‎ 答案：D 解析：设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1,1)．设B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，kl2＝－＝，∴直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.故选D.‎ ‎6．[2019·四川绵阳月考]已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．2 D．2 答案：B 解析：因为直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，所以(b2＋1)－ab2＝0.又因为b>0，所以ab＝b＋≥2，当且仅当b＝1时等号成立．故选B.‎ ‎7.‎ ‎[2019·湖北沙市中学测试]如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2 B．6‎ C．3 D．2 答案：A 解析：直线AB的方程为x＋y＝4，则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2)，P关于y轴的对称点为P2(－2,0)，由光的反射原理可知P1，M，N，P2四点共线，则光线所经过的路程是|P1P2‎ ‎|＝＝2.故选A.‎ ‎8．[2019·华大新高考联盟]已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则 的最小值为(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案：C 解析：(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值是两平行线间的距离，所以d＝＝1.故选C.‎ 二、非选择题 ‎9．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________．‎ 答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析：如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，‎ ‎∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ ‎10．[2019·湖北黄石月考]已知点P(0,2)，点M(x，y)在不等式组所确定的平面区域内，则|PM|的最小值是________．‎ 答案： 解析：画出不等式组所确定的平面区域如图，‎ 由图知|PM|的最小值为点P(0,2)到直线x－y＝0的距离，即d＝＝.‎ ‎11．求适合下列条件的直线的方程：‎ ‎(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；‎ ‎(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ 解析：(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝.∴cosα＝±，直线的斜率k＝tanα＝±.又直线在y轴上的截距是－5，‎ 由斜截式得直线方程为y＝±x－5.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)．‎ ‎∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1.‎ ‎∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ‎，则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎