【数学】2020届一轮复习人教A版第48课双曲线的标准方程和几何性质作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(48)‎ ‎ 1. 中心在原点，一个顶点为A(－3，0)，离心率为的双曲线的方程是　－＝1　.‎ 解析：因为双曲线的顶点为A(－3，0)，所以双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的方程为－＝1，则a＝3.又因为e＝，所以c＝4，所以b＝＝，所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎ 2. 设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长为　22　.‎ 解析：由题意得，a＝3，b＝4，c＝5，PF2－PF1＝2a，即2PF1＝6，所以PF1＝3，所以PF2＝9，则△F1PF2的周长＝PF1＋PF2＋2c＝9＋3＋10＝22.‎ ‎ 3. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则＝　　.‎ 解析：因为e＝2，且a2＋b2＝c2，设a＝k，则c＝2k，b＝k，所以＝.‎ ‎ 4. 已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝　　.‎ 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，且a>0，则＝＝，解得a＝.‎ ‎ 5. 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，如果△PQF是直角三角形，那么双曲线的离心率e＝　　.‎ 解析：由可得P，Q与P关于x轴对称，所以Q.由题意知，kPFkQF＝－1，所以a＝b，所以e＝＝＝.‎ ‎ 6. 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为　　.‎ 解析：因为OM⊥PF，且M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则可令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径，得＝a，所以e＝＝.‎ ‎ 7. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是　(1，)　.‎ 解析：由题意得双曲线的一条渐近线方程为y＝x，因为点(1，2)在“上”区域内，所以 ×1<2，即<2，所以e＝＝<.又e>1，则双曲线离心率e的取值范围是(1，).‎ ‎ 8. 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是　　.‎ 解析：由题意可设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x－3＋y.因为点M在双曲线上，所以－y＝1，代入不等式·<0，得3y<1，解得－0，b>0)，则点F(c，0)，B(0，b)，则直线FB的方程为bx＋cy－bc＝0.因为直线FB与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去).‎ ‎11. 已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，求·的最小值.‎ 解析：由题意得A1(－1，0)，F2(2，0).‎ 设P(x，y)(x≥1)，‎ 则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.‎ 因为函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为直线x＝，且x≥1，‎ 所以当x＝1时，·取得最小值－2.‎ ‎12. 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，则A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.‎ 解析：将双曲线3x2－y2＝3化为x2－＝1，‎ 则a＝1，b＝，c＝2.‎ 因为直线l过点F2且倾斜角为45°，‎ 所以直线l的方程为y＝x－2，‎ 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1·x2＝－<0，‎ 所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上.‎ 因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，‎ 所以AB＝＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·＝6.‎ ‎13. 双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，若过点P的圆的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线，求双曲线的方程.‎ 解析：因为－＝1(a>0，b>0)过点P(2，－1)，‎ 所以－＝1.(*)‎ 又因为过点P的圆的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线且直线OP与过点P的圆的切线垂直，‎ 所以直线 OP与双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线垂直，‎ 所以＝2，代入(*)式，解得a2＝，b2＝15，‎ 所以双曲线方程为－＝1.‎