【数学】2020届一轮复习人教B版（文）31双曲线的定义、标准方程及性质作业 10页

天天练31　双曲线的定义、标准方程及性质 小题狂练 一、选择题 ‎1．[2019·绵阳一诊]已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|＝8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 答案：C 解析：设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|＝R－2，|MO2|＝R＋4，所以|MO2|－|MO1|＝6(常数)，且6<8＝|O1O2|，所以动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支．故选C.‎ ‎2．[2019·昆明模拟]“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：先证充分性，由mn<0，知m，n异号，可得，异号，所以方程mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，则m≠0，n≠0，方程mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，由双曲线方程的形式可知，异号，所以mn<0.综上，“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．故选C.‎ ‎3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 答案：B 解析：由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.‎ ‎4．[2019·广东广州模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 答案：C 解析：由题意得＝，解得a＝3.因为|PF1|＝2，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故选C.‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 答案：A 解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.故选A.‎ ‎6．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．2 答案：D 解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，故选D.‎ ‎7．[2019·河南豫南豫北联考]已知直线y＝x＋1与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. 答案：B 解析：由题意得M(1,2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得＝＝kAB·kOM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝.故选B.‎ ‎8．[2019·福州四校联考]过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案：A 解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以即＝即：＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·辽宁沈阳月考]已知方程mx2＋(2－m)y2‎ ‎＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)‎ 解析：∵mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，∴m(2－m)<0.解得m<0或m>2.‎ ‎10．[2019·广东揭阳普宁市华侨中学模拟]过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．‎ 答案：12‎ 解析：由题意，|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.‎ ‎∵ |PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝8.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.‎ ‎11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．‎ 答案：－y2＝1‎ 解析：解法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 解法二　∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ ‎12．[2019·郑州一检]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，直线FM交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的渐近线方程为________．‎ 答案：y＝±x 解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(c,0)，则|MF|＝b，由2＝，可得＝，所以|FN|＝2b.在Rt△OMF中，由勾股定理，得|OM|＝＝a，因为∠MOF＝∠FON，所以由角平分线定理可得＝＝，|ON|＝2a，在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即＝，所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1．[2019·合肥检测]下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案：D 解析：对于A，渐近线方程为y＝± x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x ‎；对于D，渐近线方程为y＝±x.故选D.‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案：A 解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.‎ ‎3．[2019·山东潍坊模拟]曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是(　　)‎ A．5 B. C. D. 答案：B 解析：由y＝x2求导，得y′＝2x，∴k＝y′|x＝1＝2.∵函数y＝x2在点P(1,1)处的切线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，∴＝2，∴e＝＝＝，故选B.‎ ‎4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. 答案：A 解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－2＝－1，可得a＝b，，双曲线为等轴双曲线，故e＝＝＝.故选A.‎ ‎5．[2018·全国卷Ⅱ]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 解析：双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.‎ 又∵离心率＝＝，‎ ‎∴a2＋b2＝3a2.∴b＝a(a＞0，b＞0)．‎ ‎∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.‎ 故选A.‎ ‎6．[2019·河南郑州一中月考]已知点A是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F是右焦点．若△AOF(O是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e为(　　)‎ A. B. C．1＋ D．1＋ 答案：D 解析：依题意及三角函数定义得点A，‎ 即A.‎ 代入双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，‎ 得b2c2－3a2c2＝4a2b2.‎ 又由c2＝a2＋b2，得e2＝4±2又e>1，解得e＝＋1.故选D.‎ ‎7．[2019·黑龙江海林月考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)．若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 答案：C 解析：因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且＝3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)．因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，所以3x2－x1＝2c.因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，所以3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以≥2，即e≥2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.‎ ‎8.‎ 如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为(　　)‎ A．8 B．8 C．8 D．16‎ 答案：C 解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×，化简得c＝a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则△BF1F2‎ 的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝8.故选C.‎ 二、非选择题 ‎9．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．‎ 答案：x2－＝1(x≤－1)‎ 解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．‎ ‎10．[2019·海淀模拟]双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 答案：2‎ 解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.‎ ‎11．过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求△AOB的面积．‎ 解析：(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，‎ ‎∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．‎ 直线AB的方程为y＝(x－3)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得 ‎5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.‎ ‎∴＝＝‎ ＝ ‎(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为 d＝＝.‎ ‎∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.‎