广东省番禺区2020届高三摸底测试数学（文）试题 Word版含解析 20页

www.ks5u.com ‎2020届番禺区高三年级摸底测试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合,,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出 后,再求出与 的交集.‎ ‎【详解】解: ..‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算.求解集合运算题目时,可通过画数轴,数形结合进行分析.‎ ‎2.设，则（ ）‎ A. −1 B. 1 C. -3i D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将整理成复数的标准形式,求出,进而可求.‎ - 20 -‎ ‎【详解】‎ ‎.即.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算,考查了共轭复数的概念.当已知的复数是分式形式,且分母中含有 时,如,应运用分数的性质,将复数整理成一般形式.‎ ‎3.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 比较、、三个数与和的大小关系，从而可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数是增函数，则；‎ 对数函数是减函数，则；‎ 指数函数为增函数，则，且.‎ 因此，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎4.已知向量,,向量在向量上的投影等于（ ）‎ A. B. 9 C. −3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 求出以及的值,即可求出向量在向量上的投影.‎ ‎【详解】解:由题意知,, ‎ 则 ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量在另一个向量的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即;另外还可以由向量数量积的运算可知, .‎ ‎5.如果数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据平均数的概念，其平均数为，方差为，故选C.‎ ‎6.如图，在圆心角为直角半径为2的扇形区域中，分别为的中点，在两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以为直径的圆，在扇形内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 分别求出两半圆公共区域面积以及扇形的面积,代入几何概型概率公式即可求出.‎ ‎【详解】设事件“同时收到两个基站信号”，‎ 两半圆公共区域面积记.由图可知, ‎ 扇形的面积.由几何概型知 ‎ ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了几何概型概率求法.对于几何概型概率问题，一般情况下，涉及到平面图形区域时，概率为面积比;涉及到角或射线问题时，一般是角度之比;涉及到几何体问题时，一般是体积之比；涉及到区间时，一般是长度之比.‎ ‎7.已知,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】解: , ‎ 即.又 ‎ ‎, ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.‎ ‎8.若是函数两个相邻的零点，则（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由零点分析求出函数的周期,结合 进而可求.‎ ‎【详解】解:由题意知,,即 . ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数解析式的求解.求的关键是分析出三角函数的周期.‎ ‎9.若抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴相交于一点, 为抛物线上一点且,则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知写出直线 的方程,与抛物线联立,进而求出 的横坐标,得到的长,代入 - 20 -‎ 即可求出结果.‎ ‎【详解】解:设过点的直线为,斜率为.由题意知: ‎ ‎ 即的方程为 ‎ 将方程联立 ,整理得,解得或(舍去)‎ 所以, ‎ 所以的面积为 ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的方程与性质,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了直线方程的求解,考查了三角形面积的求解.本题的易错点是没能对的两个结果进行取舍.涉及到三角形面积时,一般代入 进行求解.涉及到抛物线上一点到焦点的距离时,一般将所求距离转化为该点到准线的距离.‎ ‎10.已知函数，则关于 x 的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对已知函数进行分析,可知为奇函数且在单调递增.对所求不等式进行整理,结合性质可得,进而求解.‎ ‎【详解】解:由题意知, 的定义域为,且 ‎ ‎ 所以 为奇函数. 在 单调递增 - 20 -‎ 在 单调递增.又 在 单调递增 因此在单调递增.‎ ‎ ‎ 故而,解得 ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断与应用,考查了复合函数单调性的判断,考查了不等式求解.当结合函数解不等式时,一般应用函数的性质.判断函数的奇偶性时分为两步,一是求函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称;二是判断 与的关系.判断复合函数的单调性时,关键是”同增异减”.‎ ‎11.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用将点的坐标表示出来, 结合,列出关于的方程,从而求出的值,代入求出离心率.‎ ‎【详解】解:当点是直线与 的交点时,此时, ‎ 则,,‎ ‎,解得.从而 ‎ - 20 -‎ 同理,当点是直线与 交点时, ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线,考查了双曲线的离心率.在求离心率问题时,解题关键是求出 的值,或者列出关于 的等式,求出的等量关系.对于椭圆,离心率小于1;对于双曲线,其离心率大于1.‎ ‎12.在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是( )‎ A. 36 B. 24 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求三棱锥的体积最大，只需高最大，通过轨迹得到高的最大值 ‎【详解】易知，则＝2，‎ 欲使三棱锥的体积最大，只需高最大，‎ 通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值，‎ 所以.‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的体积问题，在计算过程中先找出以哪个三角形为底面，以哪条线为高，通过轨迹求出高的最大值，继而求出体积最大值．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，平移 - 20 -‎ 找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，‎ 阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为则实数 _______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,令,令出此时的导数值等于切线的斜率,即可求出 的值.‎ ‎【详解】解:,当 时, ‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题.关于 在 的切线问题,等量关系为切线斜率为切点处的导数值; 过的切线问题,往往要设出切点,利用切点同时在直线和函数图像上,以及切点处的导数值为切线斜率列出两个方程.‎ ‎15.设，，分别为内角，，的对边.已知，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 要求的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算．‎ ‎【详解】因为，， ‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.‎ ‎16.已知是边长为4的正三角形，点是的中点，沿 将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二面角可分析出两两垂直,即将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球,求出体对角线即为直径,从而可求球的体积.‎ ‎【详解】解: 二面角为,且 ‎ 即 两两垂直,且, ‎ 将此三棱锥补成一个长方体,则三棱锥外接球即为长方体的外接球 球心为长方体的体对角线的中点,则球的半径 ‎ ‎.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了外接球问题,考查了二面角的概念,考查了球体积的求法.当三棱锥中有三条棱两两垂直时,可将三棱锥的外接球等同于长方体的外接球,求出长方体的体对角线即为直径.对于三棱锥中,没有两两垂直的三条棱时,则常常设出球心和半径,列方程求出半径.注意一点,外接球的球心与底面外接圆的圆心连线与地面垂直.‎ - 20 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为．若成等比数列．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）设，求数列前项和.‎ ‎【答案】(1) ,;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用基本量表示出,由等比中项列方程,求出首项和公差即可求及.‎ ‎(2)代入的通项公式进行化简,利用分组求和和裂项相消法求出.‎ ‎【详解】(1)解:设的公差为,则, ‎ ‎ 成等比数列 即, 解得.‎ ‎,.‎ ‎(2)解: 且 ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了等比中项,考查了等差数列通项公式,考查了等差数列求和公式,考查了分组求和,考查了裂项相消求和.对于数列求和,常用的方法有公式法,分组求和法,裂项相消法,错位相减法.难点在于化简计算.‎ - 20 -‎ ‎18.某大学就业部从该校2018年毕业的且已就业的大学本科生中随机抽取100人进行问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况.经调查发现，他们的月薪在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图：‎ 若月薪在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科生就业提供更好的指导意见.其中，分别为样本平均数和样本标准差计，计算可得元（同一组中的数据用该区间的中点值代表）.‎ ‎（1）现该校2018届大学本科生毕业生张铭的月薪为3600元，试判断张铭是否属于“就业不理想”的学生？‎ ‎（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽取6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率.‎ ‎【答案】(1)属于;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率分布直方图求出,从而得到具体的,即可判断.‎ ‎(2)结合分层抽样的知识点首先求出前三组各抽多少人,然后结合排列组合的思想求出从6人中抽取2人的组合数以及恰有一人月薪不超过5000 元的组合数,最后由古典概型概率公式即可求出.‎ ‎【详解】(1)解: 由频率分布直方图知 - 20 -‎ 则.在的左侧，‎ 所以张铭属于“就业不理想”的学生.‎ ‎(2)解:前三组频率之比为 ‎ 所以抽取的6人中,第一组有1人,第二组有2人,第三组有3人.‎ 从6人中再抽2人的组合数为种. 其中,恰有一人月薪不超过5000 元的组合数为 ‎ 种.设”恰有1人月薪不超过5000 元”.则 ‎ 所以获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000 元的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了由频率分布直方图估计样本平均数,考查了古典概型,考查了分层抽样,考查了排列组合.本题的难点在于计算.易错点是记错求平均数公式,误用每个长方形的高与其横坐标中点相乘.‎ ‎19.如图所示，有公共边的两个矩形与,现将矩形沿翻折至处，使二面角为直二面角，若 ‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若点在直线上运动，当与所成的角为时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由二面角为直二面角可知,进而可证面,即,又有,可知面,由面面垂直的判定定理可证.‎ ‎(2)由与所成的角为求出 的长度,进而求出 到平面 的距离,再算出 - 20 -‎ ‎ 的面积,即可求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)证明: 且二面角为直二面角..‎ ‎ 面 ‎ ‎ 面.面 ‎ ‎ 面 ‎ ‎ 面,平面⊥平面.‎ ‎(2)解: 与所成角为.‎ 面,面 ‎ ‎ 即 到平面 的距离为 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理,考查了二面角的概念,考查了三棱锥体积的求法.在证明两个平面垂直时,一般先证平面内的一条线与另外一个平面垂直.本题的难点在于第二问中线线夹角的利用.‎ ‎20.已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设,过点的动直线与曲线 交于(不同于)两点.问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2)是定值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,根据,用 表示,代入即可求出轨迹的方程.‎ - 20 -‎ ‎(2)设出直线方程,与轨迹的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断.‎ ‎【详解】(1)解:设,则..‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 在上, ,整理得 故动点的轨迹的方程为.‎ ‎(2)解:由题意知, 的斜率不为0,则设, ,‎ 与曲线 方程联立得 ,整理得 ‎ 则 ‎ 直线的斜率,直线的斜率 此时 ‎ 所以直线与的斜率之比是定值,为.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为.本题难点是,有韦达定理找出.‎ ‎21.已知函数的图象在点处的切线方程为．函数.‎ ‎（1）求的值，并求函数在区间的最小值 ‎（2）证明：‎ - 20 -‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出,根据切线的斜率为切点处的导数值可得,由切点既在直线上又在 上得,进而求出 ,确定.利用导数求出在区间的最小值.‎ ‎(2)构造,利用导数证明 在 恒成立.结合数学归纳法证明.‎ ‎【详解】(1)解:,则..‎ ‎ 在点处的切线方程为 ‎ 解得 .所以. ‎ 令 ,解得.则 随 的变化如下表 ‎ ‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎ 则 在单调递增,所以.‎ ‎(2)证明:设 ,则 恒成立 即在 单调增减. ‎ - 20 -‎ 所以 ,即 在 恒成立.‎ 当 时,左边,右边 左边,所证成立.‎ 假设当时,不等式成立,即 当时,左边= ‎ ‎ 右边.‎ 综上所述: .‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题,考查了导数求最值,考查了数学归纳法.数学归纳法证明不等式时,关键是对不等式进行放缩,有时需要结合函数的思想.本题的难点在于证明.‎ ‎（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即 - 20 -‎ ‎，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；‎ 展开，，代入，即可化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），平方后得，‎ 又，的普通方程为.‎ ‎，即，‎ 将，代入即可得到.‎ ‎（Ⅱ）将曲线C化成参数方程形式为（为参数），‎ 则，其中 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.‎ ‎23.设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）由绝对值不等式的解法，当，分三种情况讨论，求解不等式即可得解；‎ ‎（2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得，‎ 再转化为恒成立，再分和讨论即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 则等价于或或，‎ 解得或，‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，‎ 当时不等式显然恒成立，‎ 当时，由得，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ - 20 -‎ - 20 -‎