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- 2021-06-16 发布
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数学(理科)试题第 1 页(共 6 页)
名校联考
2021 届新高三第一次调研考试
数学(理科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在
答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答
非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 0342 xxxA , {2 3 4}B ,, ,则 A B
A.{1} B.{2} C.{3} D.{12 3 4},,,
2. 已知1 i 是关于 x的方程 2 2 0ax bx ( a ,b R )的一个根,则 a b
A. 1 B.1 C. 3 D.3
3.等比数列{an}中, 2,4
1
2 qa ,则 4a 与 8a 的等比中项是
A.±4 B.4 C. 1
4 D. 1
4
4. 罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之
一。它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,
高约 33 米。如图所示,太阳神赫利俄斯手
中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面
相同的倒立的两个圆锥,正方向投影过去,
其平面几何图形形状为一个角为 60°,边长
为 2 的菱形。现在其中一个圆锥中放置一个
球体,使得球与母线、底面相切,则该球球
的表面积为
A. 9
4 B. 3
4
C. 3
8 D. 3
16
数学(理科)试题第 2 页(共 6 页)
开始
输出A
结束
是
否
1A
1S
5?S≤
2A A 1S S
60 44 66 44 21
66 06 58 05 62
61 65 54 35 02
42 35 48 96 32
14 52 41 52 48
92 66 22 15 86
76 63 75 41 99
58 42 36 72 24
5.要得到函数 siny x 的图象,只需将函数 cosy x
的图象
A.向右平移
个单位 B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位 D.向左平移
个单位
6.按照程序框图(如图所示)执行,第3 个输出的数是
A.6
B.5
C. 4
D.3
7.总体由编号为 01,02,...,39,40 的 40 个个体组成,利
用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表
(如右表)第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右
依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为
A.23 B.21
C.35 D.32
8.在空间中,a、b、c 是三条不同的直线, 、 是两个
不同的平面,则下列命题中的真命题是
A.若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b
B.若 a ,b , ⊥ ,则 a⊥b
C.若 a∥ ,b∥ , ∥ ,则 a∥b
D.若 ∥ ,a ,则 a∥
9.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是
A.-
17
16 B.-
15
16 C.
7
16 D.
15
16
10.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,则甲、乙两人中至少有一人
数学(理科)试题第 3 页(共 6 页)
站在两端的概率为
A. 5
6 B. 1
2 C. 1
3 D. 2
3
11.已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 的渐近线与圆 2 2 2( 1) sin 130x y 相
切,则该双曲线的离心率等于
A. 1
sin 50 B. 1
cos50 C.2sin 50 D.2cos50
12.若函数 ( ) ( )1 ,f x a nx a R 与函数 ( )g x x ,在公共点处有共同的切
线,则实数 a 的值为
A.4 B. 2
1 C. 2
e D.e
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 已知函数 ( )y f x 为奇函数,若 (3) (2) 1f f ,则 ( 2) ( 3)f f .
14.已知 x,y 满足线性约束条件
0
1
0
x
yx
yx
,则 2z x y 的最大值______.
15. 在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M,N 分别是棱 B1C1,
C1D1 的中点,过 A,M,N 三点作正方体的截面,将截面多边形向平
面 ADD1A1 作投影,则投影图形的面积为________.
16. 设数列 }{ na 满足 a1=2,a2=6,,且 an+2—2an+1+an=2,若[x]表示不超过 x
的最大整数,则 4a _______;则
202021
202020202020
aaa ________.
(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
数学(理科)试题第 4 页(共 6 页)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.第 17~21 题为必考题。每道试题考生都必须作答.第 22、
23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)
如图,在菱形 ABCD 中,AB=5,BD=8,对角线 AC 与 BD 交于点 O,
点 E,F 分别在 AD,CD 上,满足 AE
ED
= CE
FD
= 1
2
,EF 交 BD 于点 H.将
△DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置, BD= 8 5
3
.
(Ⅰ)证明: D F ⊥BH;
(Ⅱ)求 BD与平面 ACD 所成的角的正弦值.
18.(12 分)
如图,考虑点 A(1,0), ,sin,cos,sin,cos 21 PP
)sin(),cos( P ,从这个图出发,解决下列问题:
(1)推导公式: sinsincoscos)cos(
(2)利用(1)的结果证明: )cos()cos(2
1coscos
并计算 5.37cos5.37sin 的值.
β α
β
P1
P2
O
P
A(1,0) x
y
数学(理科)试题第 5 页(共 6 页)
19.(12 分)
习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”
概念,精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略.为实现有效利用扶贫资金,
增加贫困村民的收入,扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点,决定利
用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验,试验
后选择其中一种进行大面积养殖,已知鱼苗甲的自然成活率为 0. 8.鱼苗乙、
丙的自然成活率均为 0. 9,且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.
(1)试验时从甲、乙,丙三种鱼苗中各取一尾,记自然成活的尾数为 X ,
求 X 的分布列和数学期望;
(2)试验后发现乙种鱼苗较好,扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行
大面积养殖,为提高鱼苗的成活率,工作组采取增氧措施,该措施实施对
能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了
50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利 10 元,不成活则亏损 2 元,且乙种
鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立,扶贫工作组的扶贫目标是获利不低
于 37.6 万元,问需至少购买多少尾乙种鱼苗?
20.(12 分)
已知函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直,
函数 g(x)=f(x)+ 21
2 x -bx.
(1)求实数 a 的值;
(2)设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b≥ 7
2
,求
g(x1)-g(x2)的最小值.
数学(理科)试题第 6 页(共 6 页)
21.(12 分)
已知椭圆方程为
2 2
16 3
x y .
(1)设椭圆的左右焦点分别为 1F 、 2F ,点 P 在椭圆上运动,求
11 2 2PF PF PF PF
的值;
(2)设直线l 和圆 2 2 2x y 相切,和椭圆交于 A、B 两点,O为原点,
线段OA、OB 分别和圆 2 2 2x y 交于C、 D 两点,设 AOB 、 COD 的面
积分别为 1S 、 2S ,求 1
2
S
S 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果
多做.则按所做的第一题计分.
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线l 的参数方程为
1
2
3 12
x t
y t
(t 为
参数).在以坐标原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长
度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是 2 2sin 4
.
(1)求直线l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设点 0, 1P ,若直l 与曲线C相交于两点 ,A B ,求 PA PB 的值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知 1 2f x x x .
(1)求使得 2f x 的 x 的取值集合 M ;
(2)求证:对任意实数 a , 0b a ,则:
当 Rx C M 时, a b a b a f x 恒成立.