重庆市南开中学2020届高三高考模拟数学（文）试题 9页

‎ ‎ 重庆南开中学高2020级高考模拟考试 数学（文科）‎ ‎2020.6‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中，值域是R且是奇函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．向量，若，则（ ）‎ A． B． C．0 D．6‎ ‎5．已知，命题“若，则或”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．2019年被誉为“5G商用元年”．6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）‎ ‎ ‎ A．相关活动是5G信息走势的关键性节点 B．月均信息量超过600万条 C．第四季度信息量呈直线增长态势 D．月信息量未出现持续下降态势 ‎7．椭圆，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎9．定义在R上的奇函数满足，且时，，则（ ）‎ A． B．1 C．7 D．‎ ‎10．点P在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎11‎ ‎ ‎ ‎．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若P是双曲线在第一象限上一点，为双曲线C的左右焦点，，到直线距离相等，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分．‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则边上的高为________．‎ ‎15．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．‎ ‎16．已知，向右平移个单位后为奇函数，则________，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）‎ ‎ ‎ 正项等比数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）‎ 在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．‎ ‎（1）计算a，b，c；‎ ‎（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．‎ ‎（ⅰ）写出各组中抽取人数；‎ ‎（ⅱ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．‎ ‎19．（12分）‎ 正三棱柱中，D为中点，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成角为，求四棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）‎ 已知圆和动圆交于A，B两点．‎ ‎（1）若直线过原点，求a；‎ ‎（2）若直线交x轴于Q，当面积最小时，求．‎ ‎21．（12分）‎ 已知．‎ ‎（1）若的一条切线为，求此时的k；‎ ‎（2）求使得有解的最大整数k．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．‎ ‎22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线l的参数方程为：（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于两不同的点M，N．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程，并求的范围；‎ ‎（2）求中点P轨迹的参数方程．‎ ‎23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知对于任意，不等式成立．‎ ‎（1）求证：对于任意，；‎ ‎（2）若，，求证：．‎ 重庆南开中学高2020级高考模拟考试·文科数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎ ‎ B B C A B B D B A B A D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分．‎ ‎13．3 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：‎ ‎（1）若公比，不成立； 1分 则 由于正项等比数列，，所以， 3分 ‎ 5分 所以； 6分 ‎（2）‎ ‎ 12分（每个3分）‎ ‎18．解：‎ ‎（1）解得：； 4分 ‎（2）记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A组：“同时观看了《机长》和《攀登者》”为B组；“同时观看《祖国》和《攀登者》“为C组，‎ ‎∴按分层抽样，A，B，C组人数分别为3，2，2 8分 在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，‎ 设这七个人分别为，则还会继续观看第三部的2人可能是：‎ 共21种， 10分 ‎ ‎ 则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有一种，概率是 12分 ‎19．解：‎ ‎（1）取中点E，连接，取中点，连接，‎ 由于是正棱柱，面，从而 由于D为中点，，‎ 所以 ‎，则由三线合一性① 3分 因为E，F分别为中点，所以，则四边形为平行四边形 从而，由于是正棱柱，面，从而，则 5分 综合①②可知，面，而面，所以平面平面 6分 ‎（2）由面知与平面所成角即为，而， 7分 则，所以 所以，，则 9分 而， 11分 所以 12分 ‎20．解：‎ ‎（1）由于两圆有两个公共点，则圆心距小于半径之和，‎ ‎，得． 1分（也可求出a后检验是否两圆相交）‎ ‎ ‎ 两圆相减得公共弦直线， 3分 过原点得，，检验成立 5分 ‎（2）直线交x轴，得 7分 ‎，‎ 在时取得最小值，满足，成立 10分 此时直线，圆心到直线距离为，弦长为 12分 ‎21．解：‎ ‎（1）设切点横坐标为t， 1分 ‎，所以恒单减，而 3分 所以，从而得 4分 ‎（2）由题意，要使得有解，即求的最大值 ‎， 5分 从而单减，而 所以在有唯一零点，所以在单增，单减 7分 则，而 所以 ‎ 10分 由于 ‎，所以整数k最大值为0． 12分 ‎ ‎ ‎22．解：‎ ‎（1）直线l的普通方程为：；‎ 曲线C的直角坐标方程为： 3分 直线l为过，倾斜角的直线，与曲线C有两个公共点，作图可知在直线过左右顶点时为临界情况，倾斜角 5分 ‎（2）直线l代入曲线C：‎ ‎ 8分 代入得到中点P轨迹的参数方程：‎ ‎（为参数，） 10分 ‎23．解：‎ ‎（1）因为，所以 1分 从而，得证 5分 ‎（2）欲证 只需 ‎（*） 7分 由于，所以， 8分 由（1）知取时（*）式成立，从而原不等式得证． 10分