高中数学必修1教案：第三章（第8课时）等比数列2 5页

课 题：3.4 等比数列（二）‎ 教学目的：‎ ‎1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.‎ ‎2.深刻理解等比中项概念.‎ ‎3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 首先回忆一下上一节课所学主要内容：‎ ‎1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）‎ ‎2.等比数列的通项公式: ‎ ‎， ‎ ‎3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）‎ ‎ “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 ‎4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． ‎ ‎ 二、讲解新课： ‎ ‎1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）‎ 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，‎ 反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 ‎∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）‎ ‎2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则 在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？‎ 由定义得： ‎ ‎ ，‎ 则 ‎3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 ‎4．等比数列的增减性：当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;‎ 三、例题讲解 例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，‎ 求证： 也成等比数列 证明：由题设：b2=ac 得：‎ ‎ ‎ ‎∴ 也成等比数列 例2 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.‎ 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为 ‎，那么数列的第n项与第n+1项分别为：‎ 它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.‎ 例3 (1) 已知{}是等比数列，且, 求 ‎ (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，成等比数列，求 解：(1) ∵{}是等比数列，‎ ‎∴ ＋2＋＝(＋)＝25, ‎ 又>0, ∴＋＝5;‎ ‎ (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, ‎ 又a, 1, c成等比数列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1, ‎ 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，‎ ‎ ∴ ac＝－1, ‎ ‎ ∴ .‎ 例4 已知无穷数列，‎ ‎ 求证：（1）这个数列成等比数列 ‎ （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，‎ ‎ （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证：（1）（常数）∴该数列成等比数列 ‎ （2），即：‎ ‎ （3），∵，∴‎ ‎ ∴且，‎ ‎∴，（第项）‎ 例5 设均为非零实数，，‎ ‎ 求证：成等比数列且公比为 证一：关于的二次方程有实根，‎ ‎ ∴，∴‎ ‎ 则必有：，即，∴成等比数列 ‎ 设公比为，则，代入 ‎ ‎ ‎ ∵，即，即 证二：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴，∴，且 ‎ ∵非零，∴‎ 四、练习：‎ ‎1．求与的等差中项；‎ 解：(＋)＝5;‎ ‎2．求a＋ab与b＋ab的等比中项 ‎ 解：±＝±ab(a＋b).‎ 五、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎1．若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.‎ ‎2．若m+n=p+q，‎ ‎3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 六、课后作业：‎ ‎1、在等比数列，已知，，求 ‎ 解：∵，∴‎ ‎ 2、在等比数列中，，求该数列前七项之积 ‎ 解：‎ ‎ ∵，‎ ‎∴前七项之积 ‎3、在等比数列中，，，求，‎ ‎ 解：‎ ‎ 另解：∵是与的等比中项，∴‎ ‎ ∴‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎