【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-2二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题作业 7页

课时跟踪检测(三十八)　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 一、题点全面练 ‎1．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为(　　)‎ A.　　　　　B. C. D. 解析：选A　如图，作出对应的平面区域，‎ 三角形区域在直线x＝1的右侧，则x≥1；在x－y＋1＝0的上方，则x－y＋1≤0；在x＋y－5＝0的下方，则x＋y－5≤0.‎ 故用不等式组表示为故选A.‎ ‎2．(2018·南昌调研)设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C(1,0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.‎ ‎3．(2019·黄冈模拟)若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)‎ A．9 B．3 C. D. 解析：选D　如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，‎ 由动直线x＋y＝a(即y＝－x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立解得所以D，所以区域的面积S阴影＝S△ACD－S△OEC＝×3×－×1×1＝，故选D.‎ ‎4．(2019·淄博模拟)已知点Q(2,0)，点P(x，y)的坐标满足条件则|PQ|的最小值是(　　)‎ A. B. C．1 D. 解析：选B　作出P(x，y)的坐标满足条件的可行域，如图中阴影部分所示．易得点Q到直线x＋y＝1的距离最小，所以|PQ|min＝＝.故选B.‎ ‎5．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选A　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，把目标函数z＝2x＋y转化为y＝－2x＋z，它表示的是斜率为－2，截距为z的平行直线系，当截距最小时，z最小．当直线z＝2x＋y经过点B时，z最小．由得因此－1＝a(1－3)，解得a＝，故选A.‎ ‎6．(2019·开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1,3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32.‎ 答案：32‎ ‎7．已知x，y满足以下约束条件使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为________．‎ 解析：∵z＝x＋ay，‎ ‎∴y＝－x＋，‎ 为直线y＝－x＋在y轴上的截距．要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．∵a＞0，把y＝－x＋平移，使之与可行域的边界AC重合即可，‎ ‎∴－＝－1，满足要求，∴a＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．(2019·山西五校联考)不等式组表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a(1＜a＜4)交BC，AC分别于点E，F.由题意可知S△EFC＝S△ABC，则(4－a)·＝××5×1＝，可得a＝2(a＝6舍去)，所以目标函数z＝ax＋y即为z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在点C(4,1)处取得最大值，则zmax＝9.‎ 答案：9‎ ‎9．若x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；‎ ‎(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．‎ 解：(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)，‎ 联立解得A(3,4)．‎ 平移直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，‎ 过C(1,0)取最大值1.‎ 所以z的最大值为1，最小值为－2.‎ ‎(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.‎ 故所求a的取值范围为(－4,2)．‎ ‎10．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播 放时长(分钟)‎ 广告播放 时长(分钟)‎ 收视人次(万)‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．‎ ‎(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？‎ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．‎ ‎(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.‎ 考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．‎ 又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组得点M的坐标为(6,3)．‎ 所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点C的坐标为(－m，m)，直线x－2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C(－m，m)必在直线x－2y＝2的下方，即m＜－m－1，解得m＜－，∴m的取值范围是，故选C.‎ ‎2．(2019·金华模拟)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.‎ 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由得A(4,4)．同理，得B(0,2)．‎ ‎①当k＞－时，目标函数z＝kx＋y在x＝4，y＝4时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，此时，12＝4k＋4，故k＝2.‎ ‎②当k≤－时，目标函数z＝kx＋y在x＝0，y＝2时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，此时，12＝0×k＋2，故k不存在．综上，k＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[0，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)‎ 解析：选B　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(4,2)，B(1,1)，C(3,3)．‎ 设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3,0]．∵存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎4．[与向量交汇]已知P(x，y)为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M(2,1)，O(0,0)，则z＝·的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．10 D．11‎ 解析：选D　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，‎ 联立解得A(4,3)．由点M(2,1)，O(0,0)，得z＝OP―→·OM―→＝2x＋y，则y＝－2x＋z，‎ 显然直线y＝－2x＋z过A(4,3)时，z最大，‎ 此时z＝2×4＋3＝11.故选D.‎ ‎5．[与概率交汇]关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的平面区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为×4×4＝8，不等式(x－4)2＋‎ ‎(y－3)2≤1所表示的平面区域记为N，且满足不等式组其面积为π，所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为＝，故选A.‎ ‎6．[与圆交汇]记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的值最大时，cos∠APB＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，‎ 要使∠APB最大，则∠OPA最大．因为sin∠OPA＝＝，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可．由图象可知当OP垂直直线4x＋3y－10＝0时，|OP|最小，此时|OP|＝＝＝2.‎ 设∠APB＝α，则∠APO＝，即sin＝＝，‎ 此时cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝，‎ 即cos∠APB＝.故选D.‎