【数学】2020届一轮复习人教B版直线与平面的夹角作业 6页

‎2020届一轮复习人教B版 直线与平面的夹角 作业 ‎1.下列有关角的说法正确的是(　　)‎ A.异面直线所成的角的范围是‎0,‎π‎2‎ B.两平面的夹角可以是钝角 C.斜线和平面所成角的范围是‎0,‎π‎2‎ D.直线与平面的夹角的取值范围是‎0,‎π‎2‎ 解析:异面直线所成的角的范围是‎0,‎π‎2‎,A错;两平面的夹角的范围是‎0,‎π‎2‎,B错;斜线与平面所成角就是斜线与平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是‎0,‎π‎2‎,C错;而直线与平面的夹角的取值范围是‎0,‎π‎2‎,D对.‎ 答案:D ‎2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 解析:以D为坐标原点,‎ 建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC‎1‎=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥DB,n⊥DC‎1‎,所以有x+y=0,‎y+2z=0,‎令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos|=‎|n·|DC|‎‎|n||DC|‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 答案:A ‎3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C夹角的大小是(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ 解析:如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C的夹角.设各棱长为1,则AE=‎3‎‎2‎,DE=‎1‎‎2‎,所以tan∠ADE=AEDE‎=‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎,所以∠ADE=π‎3‎,故选C.‎ 答案:C ‎4.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　)‎ A.θ=π‎4‎ ‎ B.cos θ=‎‎2‎‎34‎‎17‎ C.tan θ=‎2‎‎2‎‎3‎ ‎ D.sin θ=‎‎3‎‎3‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G‎2‎‎3‎‎,‎2‎‎3‎,0‎‎,PG=‎‎2‎‎3‎‎,‎2‎‎3‎,-1‎.又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=‎-1‎‎2‎‎3‎‎2‎‎+‎2‎‎3‎‎2‎+(-1‎‎)‎‎2‎=-‎3‎‎17‎‎17‎,所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为‎1-‎‎-‎‎3‎‎17‎‎17‎‎2‎‎=‎‎2‎‎34‎‎17‎.‎ 答案:B ‎5.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α夹角的余弦值为　　　　　. ‎ 解析:∵cos=a·n‎|a||n|‎‎=‎-8-3+3‎‎18‎‎×‎‎22‎=‎‎-4‎‎3‎‎11‎,‎ ‎∴l与α夹角的余弦值为‎1-‎‎-‎‎4‎‎3‎‎11‎‎2‎‎=‎‎913‎‎33‎.‎ 答案:‎‎913‎‎33‎ ‎6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为π‎3‎,则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是　　　　. ‎ 解析:因为DA,DC,DE两两垂直,‎ 所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.‎ 因为BE与平面ABCD的夹角为π‎3‎,即∠DBE=π‎3‎,‎ 所以EDDB‎=‎‎3‎.由AD=3可知DE=3‎6‎,AF=‎6‎,‎ 则A(3,0,0),F(3,0,‎6‎),E(0,0,3‎6‎),B(3,3,0),C(0,3,0).‎ 所以BF=(0,-3,‎6‎),EF=(3,0,-2‎6‎).‎ 设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·BF=0,‎n·EF=0,‎即‎-3y+‎6‎z=0,‎‎3x-2‎6‎z=0,‎ 令z=‎6‎,则n=(4,2,‎6‎).由题意知AC⊥平面BDE,‎ 所以CA为平面BDE的法向量,CA=(3,-3,0).‎ 所以cos=n·‎CA‎|n||CA|‎‎=‎6‎‎3‎2‎×‎‎26‎=‎‎13‎‎13‎.‎ 故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为‎13‎‎13‎.‎ 答案:‎‎13‎‎13‎ ‎7.‎ 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2‎2‎,SA=SB=‎3‎.‎ ‎(1)求证:SA⊥BC;‎ ‎(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.‎ ‎(提示:用向量法求解)‎ ‎(1)证明如图,作SO⊥BC,垂足为O,连接AO.‎ 由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.‎ 因为SA=SB,‎ 所以AO=BO.‎ 又∠ABC=45°,‎ 故△AOB为等腰直角三角形,且AO⊥OB.‎ 如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,OB为y轴正向,OS为z轴正向,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(‎2‎,0,0),B(0,‎2‎,0),C(0,-‎2‎,0),S(0,0,1),‎ 所以SA=(‎2‎,0,-1),CB=(0,2‎2‎,0).‎ 所以SA‎·‎CB=0.所以SA⊥BC.‎ ‎(2)解如上图,取AB的中点E‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎,0‎.‎ 连接SE,取SE的中点G‎2‎‎4‎‎,‎2‎‎4‎,‎‎1‎‎2‎,连接OG,‎ 则OG‎=‎2‎‎4‎‎,‎2‎‎4‎,‎‎1‎‎2‎,SE=‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎,-1‎,AB=‎‎-‎2‎,‎2‎,0‎.‎ 所以SE‎·‎OG=0,AB‎·‎OG=0,‎ 即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,‎ 所以OG⊥平面SAB.‎ 将OG与DS的夹角记为α,SD与平面SAB的夹角记为β,则α与β互余.‎ 因为D(‎2‎,-2‎2‎,0),所以DS=(-‎2‎,2‎2‎,1),‎ 所以cos α=OG‎·‎DS‎|OG||DS|‎‎=‎‎22‎‎11‎,所以sin β=‎22‎‎11‎.‎ 所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为‎22‎‎11‎.‎ ‎8.‎ 导学号90074044如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)若PA=AB,求PB与平面PAC所成角的余弦值;‎ ‎(3)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.‎ 解(1)因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.‎ 又PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.‎ 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)设BD∩AC=O,连接PO,由(1)可知∠BPO即为PB与平面PAC所成的角.‎ 因为PA=AB=2,所以PB=2‎2‎.又∠BAD=60°,‎ 所以OB=‎1‎‎2‎BD=1,所以cos∠BPO=‎8-1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎14‎‎4‎,所以PB与平面PAC所成角的余弦值为‎14‎‎4‎.‎ ‎(3)‎ 以BD与AC的交点O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由已知可得,AO=OC=‎3‎,OD=OB=1,所以P(0,-‎3‎,4),B(1,0,0),C(0,‎3‎,0),D(-1,0,0),PC=(0,2‎3‎,-4),BC=(-1,‎3‎,0),CD=(-1,-‎3‎,0).‎ 设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),‎ 由n‎1‎‎·PC=0,‎n‎1‎‎·BC=0,‎可得‎2‎3‎y‎1‎-4z‎1‎=0,‎‎-x‎1‎+‎3‎y‎1‎=0,‎令x1=‎3‎,可得n1=‎3‎‎,1,‎‎3‎‎2‎.同理,由n‎2‎‎·PC=0,‎n‎2‎‎·CD=0,‎可得n2=‎-‎3‎,1,‎‎3‎‎2‎,所以cos=n‎1‎‎·‎n‎2‎‎|n‎1‎||n‎2‎|‎=-‎5‎‎19‎,所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为‎5‎‎19‎.‎