【数学】2020届一轮复习（理）课标通用版2-3函数的奇偶性与周期性作业 5页

第三节　函数的奇偶性与周期性 A组　基础题组 ‎1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且与其在(-∞,0)上的单调性也相同的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=‎1‎x B.y=log2|x| C.y=1-x2 D.y=x3-1‎ 答案　C　函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项A的函数为奇函数,不符合要求;选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合要求;选项D的函数为非奇非偶函数,不符合要求;只有选项C符合要求.‎ ‎2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=log3(x+1)+a,则f(-8)=(　　)‎ A.-3-a B.3+a C.-2 D.2‎ 答案　C　因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=a=0, f(-8)=-f(8)=-log3(8+1)=-2.‎ ‎3.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是(　　)‎ A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x)‎ 答案　B　因为f(x)是定义在R上的奇函数,y=x为奇函数,所以y=xf(x)一定为偶函数.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为(　　)‎ A.3 B.0 C.-1 D.-2‎ 答案　B　设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,所以f(-a)=0.故选B.‎ ‎5.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时, f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为(　　)‎ A.(1,3) B.(-1,1)‎ C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)‎ 答案　C　y=f(x)的图象如图.‎ 当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);‎ 当x∈(0,1)时,由xf(x)>0得x∈⌀.‎ 当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).‎ 故x∈(-1,0)∪(1,3).‎ ‎6.若偶函数y=f(x)在R上是周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)=　　　　. ‎ 答案　-1‎ 解析　∵f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),‎ ‎∴f(x)=x2+(1-a)x-a(-3≤x≤3),‎ ‎∵y=f(x)为偶函数,∴1-a=0.‎ ‎∴a=1, f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).‎ 易得f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.‎ ‎7.(2019甘肃兰州模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)0且a≠1).‎ 解析　(1)由‎1-x‎1+x≥0,得-10时, f(x)=x‎1-‎‎3‎x.‎ ‎(1)求当x<0时, f(x)的解析式;‎ ‎(2)解不等式f(x)<-x‎8‎.‎ 解析　(1)因为f(x)是奇函数,‎ 所以当x<0时, f(x)=-f(-x),-x>0,‎ 又因为当x>0时, f(x)=x‎1-‎‎3‎x,‎ 所以当x<0时, f(x)=-f(-x)=-‎-x‎1-‎‎3‎‎-x=x‎1-‎‎3‎‎-x.‎ ‎(2)当x>0时,f(x)<-x‎8‎,即x‎1-‎‎3‎x<-x‎8‎,‎ 所以‎1‎‎1-‎‎3‎x<-‎1‎‎8‎,所以‎1‎‎3‎x‎-1‎>‎1‎‎8‎,‎ 所以3x-1<8,‎ 解得x<2,所以x∈(0,2).‎ 当x<0时, f(x)<-x‎8‎,即x‎1-‎‎3‎‎-x<-x‎8‎,‎ 所以‎1‎‎1-‎‎3‎‎-x>-‎1‎‎8‎,所以3-x>32,所以x<-2,‎ 所以不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).‎