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- 2021-06-16 发布
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第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题
1. (ex+2x)dx等于( )
A.1 B.e-1
C.e D.e+1
解析 ∵(ex+x2)′=ex+2x,
∴(ex+2x)dx=(ex+x2)|
=(e1+12)-(e0+0)=e.
答案 C
2.已知f(x)=2-|x|,则-1f(x)dx等于 ( ).
A.3 B.4 C. D.
解析 f(x)=2-|x|=
∴-1f(x)dx=-1(2+x)dx+(2-x)dx=+=+2=.
答案 C
3.函数f(x)满足f(0)=0,其导函数f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( ).
A. B.
C.2 D.
解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数,且对称轴为x=-1,开口方向向上.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),由f(0)=0,得c=0.f′(x)=2ax+b,因过点(-1,0)与(0,2),则有∴∴f(x)=x2+2x,则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S=-2(-x2-2x)dx==×(-2)3+(-2)2=.
答案 B
4.若dx=3+ln 2(a>1),则a的值是 ( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 dx=(x2+ln x)=a2+ln a-1=3+ln 2,即a=2.
答案 A
5.曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )
A.2-ln 2 B.4-2ln 2
C.4-ln 2 D.2ln 2
解析 y=与直线y=x-1及x=4所围成的面积为如图所示的阴影部分,[来
联立得在第一象限的交点为(2,1),
故所求面积为dx
==4-2ln 2.
答案 B
6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( ).
A. B. C. D.
解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于(-x2)dx==,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,选D.
答案 D
二、填空题
7.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.
解析 S=dx==a=a2,∴a=.
答案
8.已知f(x)=若f(x)dx=(k<2).则k=________.
解析 f(x)dx=(2x+1)dx+(1+x2)dx=,所以得到k2+k=0,即k=0或k=-1.
答案 0或-1
9.设f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1且f(-x)dx=m,则12展开式中各项的系数和为________.
解析 因为f(x)=xn+ax的导函数为f′(x)=2x+1.故n=2,a=1.所以f(-x)dx=(x2-x)dx===m所以12展开式中各项的系数和为12=1.
答案 1
10.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0
成立,则实数a的值为________.
解析 (构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>0,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,
因此g(x)max=g=4,从而a≥4.[来源:学§科§网]
当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.
答案 4
三、解答题
11.已知f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求dx的值.
解 ∵f(x)是一次函数,∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
∴f(x)dx=(ax+b)dx==a+b.
∴a+b=5.①
又xf(x)dx=x(ax+b)dx
==a+b.
∴a+b=.②
解①②得a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,
∴dx=dx=dx
=(4x+3ln x)=4+3ln 2.
12.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.
解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,
所以,抛物线与x轴所围图形的面积
S=(x-x2)dx==.
又抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为
x3=0,x4=1-k,所以,
=∫(x-x2-kx)dx=
=(1-k)3.
又知S=,所以(1-k)3=,
于是k=1- =1-.
13.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
解 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.
由f(-1)=2,f′(0)=0,
得即
∴f(x)=ax2+2-a.
又f(x)dx=(ax2+2-a)dx
==2-a=-2,
∴a=6,从而f(x)=6x2-4.
(2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1].
∴当x=0时,f(x)min=-4;当x=±1时,f(x)max=2.
14.已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.
(1)证明:当0≤x≤1时,
①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;
②f(x)+|2a-b|+a≥0.
(2)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
解 (1)证明:①f′(x)=12ax2-2b=12a.
当b≤0时,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.
当b>0时,f′(x)=12a,
此时f(x)在上单调递减,在上单调递增.
所以当0≤x≤1时,f(x)max=max{f(0),f(1)}
=max{-a+b,3a-b}==|2a-b|+a.
②由于0≤x≤1,故当b≤2a时,
f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b
=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a
=2a(2x3-2x+1).
当b>2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b
=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a
=2a(2x3-2x+1).
设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则
g′(x)=6x2-2=6,
于是g′(x),g(x)随x的变化情况如下表:
x
0
1
g′(x)
-
0
+
g(x)
1
减[
极小值
增
1
所以,g(x)min=g=1->0.
所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.
故f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.
(2)由①知,当0≤x≤1,f(x)max=|2a-b|+a,
所以|2a-b|+a≤1.
若|2a-b|+a≤1,则由②知
f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.
所以-1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是即或
在直角坐标系aOb中,(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段BC.
作一组平行直线a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3.
所以a+b的取值范围是(-1,3].