2015年高考真题——理科数学（天津卷）原卷版 5页

第 I 卷 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号. 2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （ 1 ）已知全 集  1,2,3,4,5,6,7,8U  ，集合  2,3,5,6A ，集合  1,3,4,6,7B ，则集合 UABð ( ) （A） 2,5 （B） 3,6 （C） 2,5,6 （D） 2,3,5,6,8 （2）设变量 ,xy 满足约束条件 20 30 2 3 0 x xy xy          ，则目标函数 6z x y 的最大值为( ) （A）3 （B）4 （C）18 （D）40 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为( ) （A） 10 （B）6 （ C）14 （D）18 （4）设 xR ，则“ 21x  ”是“ 2 20xx   ”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件[来源:Z.xx.k.Com] （ 5 ） 如 图 ， 在 圆 O 中， ,MN 是弦 AB 的 三 等 分 点 ， 弦 ,CD CE 分 别 经 过 点 ,MN . 若 2, 4, 3CM MD CN   ，则线段 NE 的长为( )[来源:Zxxk.Com] （A） 8 3 （B）3 （C）10 3 （D） 5 2 [来源:学科网] （6）已知双曲线   22 221 0, 0xy abab    的一条渐近线过点  2, 3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 2 47yx 的准线上，则双曲线的方程为( ) （A） 22 121 28 xy （B） 22 128 21 xy（C） 22 134 xy（D） 22 143 xy （ 7 ） 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数   21xmfx  （ m 为实数）为偶函数 ， 记    0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m   ，则 ,,abc 的大小关系为( ) （A） abc （B） a c b （C）c a b （D） c b a （ 8 ） 已 知 函 数    2 2 , 2, 2 , 2, xx fx xx      函数    2g x b f x   ，其中bR ， 若 函 数    y f x g x 恰有 4 个零点，则b 的取值范围是( ) （A） 7 ,4  （B） 7, 4  （C） 70, 4   （D） 7 ,24   第 II 卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题，共计 110 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）i 是虚数单位，若复数  12i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为 . （10）一个 几何 体的 三视 图如 图所 示（ 单位： m ），则该 几何 体的体 积为 3m . （11）曲线 2yx 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在 61 4x x  的展开式中， 2x 的系数为 . （ 13 ） 在 ABC 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,abc ，已知 的面积为3 15 ， 12,cos ,4b c A    则 a 的值为 . （14）在等腰梯 形 ABCD 中,已知 / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC    ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, 1,,9BE BC DF DC  则 AE AF 的最小值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分 13 分）已知函数   22sin sin 6f x x x    ， Rx (I)求 ()fx最小正周期； (II)求 ()fx在区间[ , ]34 pp- 上的最大值和最小值.[来源:学#科#网] 16.（本小题满分13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自 甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随 机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生 的概率； (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D- 中，侧棱 1A A ABCD 底面 , AB AC , 1AB = ,[ 1 2, 5AC AA AD CD= = = = ,且点 M 和 N 分别为 11CDBD和 的中点. (I)求证： //MN 平面 ABCD ； (II)求二面角 11D AC B--的正弦值； (III)设 E 为棱 11AB 上的点，若直线 NE 和平面 所成角的正弦值为 1 3 ，求线段 1AE的长 18.（本小题满分 13 分）已知数列{}na 满足 2 1 2( ) *, 1, 2nna qa q q n N a a     为实数，且 1 ， ，且 2 3 3 4 4 5,,a a a a a a+ + + 成等差数列. (I)求 q 的值和 的通项公式； (II)设 *22 21 log ,n n n ab n Na  ，求数列{ }nb 的前n 项和. 19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 22 22+ =1( 0)xy abab >> 的左焦点为 ( ,0)Fc ,离心率为 3 3 ，点 M 在椭圆 上且位于第一象限，直线 FM 被圆 4 22+ 4 bxy= 截得的线段的长为 c， 43|FM|= 3 . (I)求直线 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2 ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围. 20.（本小题满分 14 分）已知函数 ( ) n ,nf x x x x R   ，其中 *n ,n 2N. (I)讨论 ()fx的单调性； (II)设曲线 ()y f x= 与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 ()y g x= ,求证：对于任意的正实 数 ，都有 ( ) ( )f x g x ； (III)若关于 的方程 ( )=a(a )fx 为实数 有两个正实根 12xx， ，求证： 21| - | 21 axx n<+-