2009年高考试题—数学理（安徽卷）解析版 11页

绝密★启用前高.考.资.源.网 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页。第 II 卷 第 3 学科至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。高.考.资.源.网 考生注意事项：高.考.资.源.网 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。高.考.资.源.网 2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。高.考.资.源.网 3.答第 II 卷时，必须使用用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔描清楚。必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上答题无效。高.考.资.源.网 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。高.考.资.源.网 参考公式：高.考.资.源.网 如果事件 A、B 互斥，那么 S 表示底面积，h 表示底面上的高高.考.资.源.网 棱柱体积 高.考.资.源.网 如果事件 相互独立，那么 棱锥体积 高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 第 I 卷(选择题 共 50 分) 高.考.资.源.网 一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。高.考.资.源.网 （1）i 是虚数单位，若 ，则乘积 的值是高.考.资.源.网 （A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15 高.考.资.源.网 [解析] ，∴ ，选 B。 （2）若集合 则 A∩B 是高.考.资.源.网 （A） (B) （C） (D) 高.考.资.源.网 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + V Sh= A B、 1 3V Sh= ( ) ( ) ( )P A B P A P B• = • 1 7 ( , )2 i a bi a b Ri + = + ∈− ab 1 7 (1 7 )(2 ) 1 32 5 i i i ii + + += = − +− 1, 3, 3a b ab= − = = − { } 2 1| 2 1| 3 , 0 ,3 xA x x B x x  + = − < = < −  11 2 32x x x  − < <− < <    或 { }2 3x x< < 1 22x x  − < <    11 2x x  − < <−    [解析]集合 ，∴ 选 D （3）下列曲线中离心率为 的是高.考.资.源.网 （A） （B） （C） （D） 高.考.资.源.网 [解析]由 得 ，选 B (4)下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是高.考.资.源.网 （A）p: ＞b+d , q: ＞b 且 c＞d 高.考.资.源.网 （B）p:a＞1,b>1 q: 的图像不过第二象限高.考.资.源.网 （C）p: x=1, q: 高.考.资.源.网 （D）p:a＞1, q: 在 上为增函数高.考.资.源.网 [解析]：由 ＞b 且 c＞d ＞b+d，而由 ＞b+d ＞b 且 c＞d，可举反例。选 A （5）已知 为等差数列， + + =105， =99，以 表示 的前 项和， 则使得 达到最大值的 是高.考.资.源.网 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 高.考.资.源.网 [解析]：由 + + =105 得 即 ，由 =99 得 即 ， ∴ ， ，由 得 ，选 B （6）设 ＜b,函数 的图像可能是高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 [解析]： ，由 得 ，∴当 时， 取极大 值 0，当 时 取极小值且极小值为负。故选 C。 或当 时 ，当 时， 选 C （7）若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分， 则 的值是高.考.资.源.网 1{ | 1 2}, { | 3}2A x x B x x x= − < < = < − >或 1{ | 1 }2A B x x= − < < − 6 2 2 2 12 4 x y− = 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 6 x y− = 2 2 14 10 x y− = 6 2e = 2 2 2 2 2 2 3 3 1,1 ,2 2 2 c b b a a a = + = = a c+ a ( ) ( 0 1)xf x a b a a= − > ≠，且 2x x= ( ) log ( 0 1)af x x a a= > ≠，且 (0, )+∞ a ⇒ a c+ a c+ a { }na 1a 3a 5a 2 4 6a a a+ + nS { }na n nS n 1a 3a 5a 33 105,a = 3 35a = 2 4 6a a a+ + 43 99a = 4 33a = 2d = − 4 ( 4) ( 2) 41 2na a n n= + − × − = − 1 0 0 n n a a + ≥  < 20n = a 2( ) ( )y x a x b= − − / ( )(3 2 )y x a x a b= − − − / 0y = 2, 3 a bx a x += = x a= y 2 3 a bx += y x b< 0y < x b> 0y > 0 3 4 3 4 x x y x y ≥  + ≥  + ≤ 4 3y kx= + k （A） （B） （C） （D） 高.考.资.源.网 [解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由 得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， ） ∴ △ABC= ，设 与 的 交点为 D，则由 知 ，∴ ∴ 选 A。 （8）已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点 的距离等于 ，则 的单调递增区间是高.考.资.源.网 （A） （B） 高.考.资.源.网 （C） （D） 高.考.资.源.网 [解析]： ，由题设 的周期为 ，∴ ， 由 得， ，故选 C （9）已知函数 在 R 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是高.考.资.源.网 （A） （B） （C） （D） 高.考.资.源.网 [解析]：由 得 ， 即 ，∴ ∴ ，∴切线方程为 ，即 选 A （10）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网 （A） （B） （C） （D） [解析] 如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 7 3 3 7 4 3 3 4 3 4 3 4 x y x y + =  + = 4 3 S 1 4 4(4 ) 12 3 3 − × = y kx= 3 4x y+ = 1 2 2 3BCDS S ABC∆ = ∆ = 1 2Dx = 5 2Dy = 5 1 4 7,2 2 3 3k k= × + = ( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= + > ( )y f x= 2y = π ( )f x 5[ , ],12 12k k k Z π ππ π− + ∈ 5 11[ , ],12 12k k k Z π ππ π+ + ∈ [ , ],3 6k k k Z π ππ π− + ∈ 2[ , ],6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ ( ) 2sin( )6f x x πω= + ( )f x T π= 2ω = 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + ,3 6k x k k z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x 2( ) 2 (2 ) 8 8f x f x x x= − − + − ( )y f x= (1, (1))f 2 1y x= − y x= 3 2y x= − 2 3y x= − + 2( ) 2 (2 ) 8 8f x f x x x= − − + − 2(2 ) 2 ( ) (2 ) 8(2 ) 8f x f x x x− = − − + − − 22 ( ) (2 ) 4 4f x f x x x− − = + − 2( )f x x= / ( ) 2f x x= 1 2( 1)y x− = − 2 1 0x y− − = 1 75 2 75 3 75 4 75 2 2 6 6 15 15 225C C• = × = B A x D y C O y=kx+ 4 3 • A• • •• • B C D E F w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 共 12 对，所以所求概率为 ，选 D 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项：高.考.资.源.网 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。 （11）若随机变量 ，则 =________. [解析] （12）以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数） 相交于两点 A 和 B，则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为 ，曲线的普通方程 ∴ (13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______. [解析] 由程序框图知，循环体被执行后 的值依次为 3、7、15、31、 63、127，故输出的结果是 127。 （14）给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 . 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动. 若 其中 ,则 的最大值是________. [解析]设 // , // , // ,AC DB AD CB AE BF // , // , //AF BE CE FD CF ED 12 4 225 75p = = 2~ ( , )X N µ σ ( )P X µ≤ 1 2 x ( )4 R πθ ρ= ∈ 1 2cos 2 2sin x y α α = +  = + α y x= 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = 2 2|1 2 || | 2 2 ( ) 14 1 1 AB −= − = + a OA OB 120o AB ,OC xOA yOB= +   ,x y R∈ x y+ AOC α∠ = 开始 1a = 2 1a a= + 100?a > 输出 a 结束 是 否 ，即 ∴ （15）对于四面体 ABCD，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ○1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面； ○2 由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 的三条高线的交点； ○3 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ○4 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; ○5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 [解析]①④⑤ 三．解答题;本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡上的答题区域内. （16）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， , sinB= . （I）求 sinA 的值； (II)设 AC= ，求 ABC 的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解 ： （ Ⅰ ） 由 ， 且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，又 ，∴ （Ⅱ）如图，由正弦定理得 ∴ ，又 , , OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB  • = • + • • = • + •           0 1cos 2 1cos(120 ) 2 x y x y α α  = −  − = − + 02[cos cos(120 )] cos 3sin 2sin( ) 26x y πα α α α α+ = + − = + = + ≤ ∆ ∆ ∆ ∆ sin( ) 1C A− = 1 3 6 ∆ 2C A π− = C A Bπ+ = − 4 2 BA π= − 2sin sin( ) (cos sin )4 2 2 2 2 B B BA π= − = − 2 1 1sin (1 sin )2 3A B= − = sin 0A> 3sin 3A = sin sin AC BC B A = 36sin 3 3 21sin 3 AC ABC B • = = = sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B= + = + 3 2 2 6 1 6 3 3 3 3 3 = × + × = A B C ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （17）（本小题满分 12 分） 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率 都是 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数 学期望）. 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均 值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现 数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解：随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3 P X 的均值为 附：X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 ： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A—B—C—D A—B—C └D A—B—C └D A—B—D └C A—C—D └B 在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在 情形⑥之下，A 直接感染了三个人。 （18）（本小题满分 13 分） 如图，四棱锥 F－ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC=2，BD= ，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1，CF=2. （I）求二面角 B－AF－D 的大小； （II）求四棱锥 E－ABCD 与四棱锥 F－ABCD 公共部分的体积. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知 识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法 解决立体几何问题的能力。本小题满分 13 分。 解：（I）（综合法）连接 AC、BD 交于菱形的中心 O，过 O 作 OG AF， G 为垂足。连接 BG、DG。由 BD AC，BD CF 得 BD 平面 ACF，故 BD AF。 于是 AF 平面 BGD，所以 BG AF，DG AF， BGD 为二面角 B－AF－D 的平面角。 1 1 6sin 6 3 2 3 22 2 3ABCS AC BC C∆ = • • = × × × = 1 2 1 3 1 3 1 2 1 6 1 1 1 111 2 33 2 6 6EX = × + × + × = 1 6 2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∠ 由 ， ，得 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 ，得 （向量法）以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系（如图） 设平面 ABF 的法向量 ，则由 得 令 ，得 ， 同理，可求得平面 ADF 的法向量 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直， 二面角 B-AF-D 的大小等于 。 （II）连 EB、EC、ED，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H，则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的 公共部分为四棱锥 H-ABCD。 过 H 作 HP⊥平面 ABCD，P 为垂足。 因为 EA⊥平面 ABCD，FC⊥平面 ABCD，，所以平面 ACFE⊥平面 ABCD，从而 由 得 。 又因为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故四棱锥 H-ABCD 的体积 FC AC⊥ 2FC AC= = 4FAC π= 2 2OG = 2, 2OB OG OB OD⊥ = = 2 2BGD BGO π∠ = ∠ = BD AC AE 1 ( , , )n x y z= 1 1 0 0 n AB n AF  • = • =     2 02 2 2 0 x y y z − + =  + = 1z = 2 1 x y  = − = − 1 ( 2, 1,1)n = − − 2 ( 2, 1,1)n = − 1 2 0n n⋅ =  2 π , .P AC HP AC∈ ⊥ 1,HP HP AP PC CF AE AC AC + = + = 2 3HP = 1 2,2ABCDS AC BD= ⋅ =菱形 1 2 2 .3 9ABCDV S HP= ⋅ =菱形 （19）（本小题满分 12 分） 已知函数 ，讨论 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方 法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解： 的定义域是(0,+ ), 设 ,二次方程 的判别式 . ① 当 ，即 时，对一切 都有 ,此时 在 上是增函数。 ② 当 ,即 时，仅对 有 ,对其余的 都有 , 此时 在 上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ③ 当 ，即 时， 方程 有两个不同的实根 , , . + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, 在 上单调递增. （20）（本小题满分 13 分） 点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 . （I）证明: 点 是椭圆 与直线 的唯一交点；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2( ) (2 ln ),( 0)f x x a x ax = − + − > ( )f x ( )f x ∞ 2 2 2 2 2( ) 1 .a x axf x x x x − +′ = + − = 2( ) 2g x x ax= − + ( ) 0g x = 2 8a∆ = − 2 8 0a∆ = − < 0 2 2a< < 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 2 8 0a∆ = − = 2 2a = 2x = ( ) 0f x′ = 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 2 8 0a∆ = − > 2 2a > ( ) 0g x = 2 1 8 2 a ax − −= 2 2 8 2 a ax + −= 1 20 x x< < x 1(0, )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x +∞ ( )f x′ ( )f x   ( )f x 2 8(0, )2 a a− − 2 28 8( , )2 2 a a a a− − + − 2 8( , )2 a a+ − +∞ 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0cos , sin ,0 .2x a y b πβ β β= = < < 2l 0 0 1 2 2: 1x yl x ya b + = α 2l γ P 2 2 2 2 1x y a b + = 1l （II）证明: 构成等比数列. 解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列 等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。 解：（I）（方法一）由 得 代入椭圆 , 得 . 将 代入上式,得 从而 因此,方程组 有唯一解 ,即直线 与椭圆有唯一交点 P. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (方法二)显然 P 是椭圆与 的交点，若 Q 是椭圆与 的交点， 代入 的方程 ，得 即 故 P 与 Q 重合。 （方法三）在第一象限内，由 可得 椭圆在点 P 处的切线斜率 切线方程为 即 。 因此， 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 的唯一交点。 （II） 的斜率为 的斜率为 由此得 构成等比数列。 （21）（本小题满分 13 分） tan ,tan ,tanα β γ 0 0 2 2 1x yx ya b + = 2 2 02 0 ( ),by a x xa y = − 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 20 0 2 4 2 2 2 0 0 0 21( ) ( 1) 0b x b x bx xa a y a y y + − + − = 0 0 cos sin x a y b β β =  = 2 2 22 cos cos 0,x a x aβ β− ⋅ + = cos .x a β= 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 x y a b x yx ya b  + =  + = 0 0 x x y y =  = 1l 1l 1 1 1( cos , sin ),0 2a bβ β β π≤ < 1l 1l cos sin 1x ya b β β+ = 1 1cos cos sin sin 1,β β β β+ = 1 1cos( ) 1, ,β β β β− = = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 0 0, ,b by a x y a xa a = − = − 2 0 0 0 22 2 00 ( ) ,bx b xk y x a ya a x ′= = − = − − 2 0 0 02 0 ( ) ,b xy x x ya y = − − + 0 0 2 2 1x x y y a b + = 1l 1l 0 0 tan tan ,y b x a α β= = 1l 2 0 2 0 ,x b y a − 2l 2 0 2 0 tan tan ,y a a x b b γ β= = 2tan tan tan 0,α γ β= ≠ tan ,tan ,tanα β γ 首项为正数的数列 满足 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明：若 为奇数，则对一切 都是奇数； （II）若对一切 都有 ，求 的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解：（I）已知 是奇数，假设 是奇数，其中 为正整数， 则由递推关系得 是奇数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 根据数学归纳法，对任何 ， 都是奇数。 （II）（方法一）由 知， 当且仅当 或 。 另一方面，若 则 ；若 ，则 根据数学归纳法， 综合所述，对一切 都有 的充要条件是 或 。 （方法二）由 得 于是 或 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为 所以所有的 均大于 0，因此 与 同号。 根据数学归纳法， ， 与 同号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此，对一切 都有 的充要条件是 或 。 { }na 2 1 1 ( 3), .4n na a n N+ += + ∈ 1a 2, nn a≥ n N+∈ 1n na a+ > 1a 1a 2 1ka m= − m 2 1 3 ( 1) 14 k k aa m m+ += = − + n N+∈ na 1 1 ( 1)( 3)4n n n na a a a+ − = − − 1n na a+ > 1na < 3na > 0 1,ka< < 1 1 30 14ka + +< < = 3ka > 2 1 3 3 3.4ka + +> = 1 10 1, 0 1, ; 3 3, .n na a n N a a n N+ +< < ⇔ < < ∀ ∈ > ⇔ > ∀ ∈ n N+∈ 1n na a+ > 10 1a< < 1 3a > 2 1 2 1 3 ,4 aa a += > 2 1 14 3 0,a a− + > 10 1a< < 1 3a > 2 2 1 1 1 1 3 3 ( )( ) ,4 4 4 n n n n n n n n a a a a a aa a − − − + + + + −− = − = 2 1 1 30, ,4 n n aa a + +> = na 1n na a+ − 1n na a −− n N+∀ ∈ 1n na a+ − 2 1a a− n N+∈ 1n na a+ > 10 1a< < 1 3a >