【数学】2020届一轮复习人教B版渐开线与摆线作业 3页

一、选择题 ‎1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　)‎ A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C　本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．‎ ‎2.(φ为参数)表示的是(　　)‎ A．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B．半径为5的圆的摆线的参数方程 C．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：选B　根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．‎ ‎3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为(　　)‎ A.－1　　　　　　　　B. C. D. 解析：选C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，‎ 把φ＝代入参数方程中可得 即A.‎ ‎∴|AB|＝＝.‎ ‎4．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为(　　)‎ A. ‎ B. C. ‎ D. 解析：选A　圆的摆线的参数方程为 令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ)，‎ 得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又过(1,0)，‎ ‎∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝，‎ 又r＞0，∴k∈N＋.‎ 二、填空题 ‎5．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．‎ 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为＋，－.‎ 答案：2　＋，－ ‎6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．‎ 解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．‎ 答案：(φ为参数)‎ ‎7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．‎ 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．‎ 答案：(6，0)和(－6，0)‎ ‎8．圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标为________．‎ 解析：对应点的直角坐标为 ‎∴t＝对应的点的直角坐标为1＋，1－.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过π和π时，求点M的坐标．‎ 解：由摆线方程可知：‎ φ＝π时，xM＝r，yM＝r；‎ φ＝π时，xM＝r(7π＋2)，yM＝r.‎ ‎∴点M的坐标分别是，r、r(7π＋2)，r.‎ ‎10.‎ 如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长．‎ 解：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，‎ 长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.‎ ‎11．已知圆C的参数方程是(α为参数)，直线l的普通方程是x－y－6＝0.‎ ‎(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？‎ ‎(2)写出平移后圆的摆线方程；‎ ‎(3)求摆线和x轴的交点．‎ 解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．‎ ‎(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是 (φ为参数)．‎ ‎(3)令y＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．‎