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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

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‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图,已知与圆相切,为切点,为割线,弦,相交于点,为上一点,且.‎ ‎(1)求证:四点共圆;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ ‎2、如图,是圆外一点,是圆的切线,为切点,割线与圆交于,,,为中点,的延长线交圆于点.‎ 证明:(1);‎ ‎(2).‎ ‎3、如图,是的直径,是上一点,切于交于,且.‎ ‎(1)求证:与相切;‎ ‎(2)已知与交于,,求的长.‎ ‎4、如图,在的内接四边形中,,过点作的切线,交的延长线于点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,,,求的长.‎ ‎5、如图所示,已知和相交于两点,过点作的切线交于点,过点作两圆的割线,分别交、于点与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若是的切线,且,求的长.‎ ‎6、如图,切圆于点,点为的中点,过作圆的割线交圆于点,连接并延长交圆于点,连接并交圆于点,求证:.‎ ‎7、如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.‎ ‎(1)求证:△∽△;‎ ‎(2)求证:四边形是平行四边形.‎ ‎8、如图,的外接圆为⊙,延长至,再延长至,使得成为,的等比中项.‎ ‎(1)求证:为⊙的切线;‎ ‎(2)若恰好为的平分线,,,求的长度.‎ ‎9、已知点是圆外的一点,过作圆的切线,切点为,过作一割线交圆于点,若,取的中点,连接,并延长交圆于.‎ ‎(1)求证:四点共圆;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎10、如图,是⊙的一条切线,切点为,、都是⊙的割线,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎11、如图,是⊙上的两点,为⊙外一点,连结分别交⊙于点,且,连结并延长至,使.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求.‎ ‎12、如图,是的外接圆,的平分线交于,交于,连接并延长,交于,交于.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若求的长.‎ ‎13、如图,是圆的直径,,是圆上的两点,,过点作圆的切线交的延长线于点,连接交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求圆的面积.‎ ‎14、如图,已知、是圆的两条弦,且是线段的垂直平分线,已知,,求线段的长度.‎ ‎15、如图,和相交于两点,过作两圆的切线分别交两圆于两点,连结并延长交于点,已知.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求线段的长.‎ ‎16、已知中,,是外接圆劣弧上的点(不与点重合),延长至,延长至.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,中边上的高为,求外接圆的面积.‎ ‎17、如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于。连结交于点。‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若圆的半径为,求的长。‎ ‎18、如下图,已知为的直径,为上的两点,,过点作的切线交的 延长线于点,连接交于点。‎ 求证:。‎ ‎19、如下图,是圆上两点,延长至点,满足,过作直线与圆相切于点,的平分线交于点。‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求的值。‎ ‎20、如下图,已知与圆相切,为切点,为割线,弦,相交于点,为上一点,且。‎ ‎(1)求证:四点共圆;‎ ‎(2)若,,求的长。‎ 参考答案 ‎1、答案:(1)证明见解析;(2).‎ 试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证.通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,.‎ 试题 ‎(1)∵,∴,又,∴∽.‎ ‎∴.‎ 又,∴,故,‎ 所以四点共圆.‎ ‎(2)由相交弦定理得:,∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ 由切割线定理得:,‎ 所以为所求.‎ 考点:几何证明选讲. 2、答案:试题分析:对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.‎ 试题(1)证明:连接,由题设知,故,因为,,由弦切角等于同弦所对的圆周角,,所以,从而弧弧,因此.‎ ‎(2)由切割线定理得:,因为,所以,,由相交弦定理得:,所以.‎ 考点:切割线定理,相交弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题,属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是,对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论. ‎ 参考答案 ‎1、答案:(1)证明见解析;(2).‎ 试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证.通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,.‎ 试题 ‎(1)∵,∴,又,∴∽.‎ ‎∴.‎ 又,∴,故,‎ 所以四点共圆.‎ ‎(2)由相交弦定理得:,∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ 由切割线定理得:,‎ 所以为所求.‎ 考点:几何证明选讲. 2、答案:试题分析:对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.‎ 试题(1)证明:连接,由题设知,故,因为,,由弦切角等于同弦所对的圆周角,,所以,从而弧弧,因此.‎ ‎(2)由切割线定理得:,因为,所以,,由相交弦定理得:,所以.‎ 考点:切割线定理,相交弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题,属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是,对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论. ‎ ‎3、答案:(1)证明见解析;(2).‎ 试题分析:(1)连接先得出利用三角形全等,得,从而证得与相切;(2)先由切割线定理求得的长,然后利用平行结合三角形相似和勾股定理求得的长.‎ 试题(1)连接是的直径,,与相切.‎ ‎(2)由切割线定理得:,设,则,又,则在中,.‎ 考点:1、三角形相似的判定;2、切割弦定理;3、勾股定理. 4、答案:(1)证明见解析;(2).‎ 试题分析:(1)由.‎ 又是的切线.再由是四边形的一个外角;(2)由,‎ ‎.‎ 试题(1)因为,则劣弧,‎ 所以.因为是的切线,则,从而 因为是四边形的一个外角,则 所以 ‎(2)由(1)知,,,则,所以 因为,,则 因为,则.由切割线定理,,所以 考点:1、三角形的相似;2、切割线定理. 5、答案:(I)证明见解析;(II)‎ 试题分析:(I)由弦切角定理,得,由同弧所对的圆周角,得,所以,,‎ 最后由平行线的判定得;(II)在圆中利用切割线定理,算出,再在圆中由相交弦定理,得出,最后在圆中利用切割线定理,即可求出的长.‎ 试题(I)证明:连接,是⊙的切线,,又,,∥‎ ‎(II)解:设,,,,①‎ ‎∥,,②‎ 由①②可得或(舍去).‎ ‎,是⊙的切线,,‎ 考点:与圆有关的比例线段. 6、答案:试题分析:由切割线定理和中点可得,进一步判断和相似,可得,可证,得到.‎ 试题 如图,切圆于点,点为的中点,‎ 所以,‎ 所以∽,‎ 所以,又,‎ 所以,‎ 所以.‎ 考点:1.相似三角形;2.切割线定理. 7、答案:试题分析:(1)先根据切割线定理得,进而得,再利用等腰三角形的性质可证;(2)先证,由得,再利用切线的性质证明,进而可得,可证结论.‎ 试题(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,‎ ‎∴,∴,‎ 又∵,∴△∽△,‎ ‎∴,即.‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∴△∽△.‎ ‎(2)∵,∴,即,‎ ‎∴,∵△∽△,∴,‎ ‎∵是圆的切线,∴,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,∴四边形PMCD是平行四边形.‎ 考点:1、切割线定理的应用;2、相识三角形及平行四边形的证明. 8、答案:(1)详见解析;(2).‎ 试题分析:(1)证明,根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线;(2)由 恰好为的平分线以及切割线定理可得,再根据~得,消去即可求解.‎ 试题(1)∵,即,∴以~,‎ ‎∴,根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线.‎ ‎(2)∵为⊙的切线,∴,而恰好为的平分线,‎ ‎∴,于是,由,‎ ‎∴①,又由~得,②‎ 联合①②消掉,得.‎ 考点:1.圆的基本性质;2.切割线定理;3.相似三角形的判定与性质. 9、答案:(1)(2)见解析 试题分析:(1)利用对角互补,证明四点共圆;‎ ‎(2)由切割线定理证明出,由相交弦定理可得,即可证明 试题 ‎(1)‎ 连接.‎ 因为为切线,可知 ‎∴,‎ 所以四点共圆 ‎(2)由切割线的定理可得,‎ 又,∴‎ 所以 由相交弦的定理,可得,‎ 得,即 因为,所以 考点:四点共圆,相交弦定理 10、答案:试题分析:(1)已知,是切线,由切割线定理可得结论;(2)要证线线平行,可证明同位角相等(或内错角相等),考虑到第(1)的结论可得三角形相似,从而有,再由圆周角定理可得,从而有,于是有线线平行.‎ 试题证明:(1)∵是⊙的一条切线,是⊙的割线,∴.‎ 又∵,∴‎ ‎(2)由(1)得,又,∴∽,∴,‎ ‎∵,∴,∴.‎ 考点:切割线定理,相似三角形的判断与性质,两直线平行的判断. 11、答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)‎ 试题分析:(Ⅰ)连结DC,只要判断,利用三角形全等的性质即可证得;(Ⅱ)判断,利用三角形相似的性质得到,进一步得到,即可解得.‎ 试题 ‎(Ⅰ)证明:连结,‎ 因为,‎ ‎,又因为,‎ 所以,‎ 所以.由已知,,‎ 所以,且,‎ 所以,所以.‎ ‎(Ⅱ)解:因为,‎ 所以∽,则,‎ 所以 又因为,,所以,‎ 所以.‎ 所以 考点:三角形的相似与全等;与圆有关的比例线段. 12、答案:(1)见解析;(2).‎ 试题分析:(1)过作交于,连接,然后根据平行线分线段成比例得,再利用角平分线的性质可推出,从而可使问题得证;(2)首先利用相交弦定理求得的长,然后利用,可得对应线段成给,即可建立关于的方法,求解即可.‎ 试题(1)如图,过作交于,连接,‎ 所以,‎ 又因为,‎ ‎,‎ 同理可得.‎ ‎(2)因为,又.‎ 因为,即,‎ ‎,.‎ 考点:1、圆的基本性质;2、相似三角形的判定与性质;3、相交弦定理. 13、答案:(1)详见解析;(2).‎ 试题分析:(1)连接,证明,从而得证;(2)由切割线定理可知 ‎,从而可求得半径的长度,即可求得面积.‎ 试题(1)连接,∵切圆于点,∴,‎ ‎∴,∵,∴,‎ ‎∵于,∴,‎ ‎∴,∴;‎ ‎(2)∵是圆的切线,∴,∵,,,‎ ‎∴,从而,则,圆的面积为.‎ 考点:1.圆的基本性质;2.切割线定理. 14、答案:‎ 试题分析:连接,设相交于点,,然后利用已知条件推出是圆的直径,再利用射影定理求出的值,从而利用相交弦定理求解即可.‎ 试题连接,设相交于点,,∵是线段的垂直平分线,‎ ‎∴是圆的直径,,‎ 则,.‎ 由射影定理得,‎ 即有,解得(舍)或 ‎∴,即.‎ 考点:1、直径的性质;2、射影定理;3、相交弦定理. 15、答案:(Ⅰ)(Ⅱ).‎ 试题分析:(Ⅰ)首先由弦切角定理证明得,从而利用相似比使问题得解;(Ⅱ)首先由弦切角定理证明得,从而利用相似比结合(Ⅰ)的结论求解即可.‎ 试题(Ⅰ)∵切⊙于,∴,‎ 同理,∴∽,∴,即.‎ ‎∵,∴.‎ ‎(Ⅱ)∵切⊙于,∴,又,∴∽,‎ ‎∴,即.由(Ⅰ)可知,,∴.‎ 考点:1、弦切角定理;2、相似三角形的判定与性质. 16、答案:(1)见解析;(2).‎ 试题分析:(1)由等腰三角形性质可得,由同弧上的圆周角相等可得,再由对顶角相等可得,等量代换查证结论成立;(2)设为外接圆圆心,连接交于,则,由圆的性质用圆的半径表示,可求出,从而求出圆的面积.‎ 试题(1)如图,由得 ‎∵与都是同弧所对的圆周角,‎ ‎∴且 故.‎ ‎(2)设为外接圆圆心,连接交于,则,‎ 连接,由题意易得,,‎ 且,‎ ‎∴,设圆半径为,则,‎ 解得,故外接圆面积为.‎ 考点:圆的性质. 17、答案:(1)证明见解析;(2)。‎ 试题分析:(1)借助题设条件运用圆幂定理推证;(2)借助题设条件运用直角三角形的边角关系求解。‎ 试题(1)证明:连接,由弦切角定理知,又,即。由切割线定理得,所以。‎ ‎(2)由知,。在中,由得,。在中,由得,于是。‎ 考点:圆幂定理及有关知识的综合运用。 18、答案:试题分析:借助题设条件运用圆幂定理推证。‎ 试题 连接,则由是的切线可知.‎ 故。‎ ‎∵,∴。‎ 又∵,∴。‎ ‎∴,∴。‎ ‎∴是的切线,∴。‎ ‎∴。‎ 考点:圆幂定理等有关知识的综合运用。 19、答案:(1)证明见解析;(2)。‎ 试题分析:(1)由题可知 ‎,再利用三角形外角和定理可得,进而得;(2)先证,再由切割线定理得,得,进而可得结果。‎ 试题(1)由题可知,又,故,故。‎ ‎(2)因为与分别为圆的切线和割线,所以,得。‎ 又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故。‎ 考点:1.相似三角形的性质;2.切割线定理的应用。 20、答案:(1)证明见解析;(2)。‎ 试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,。‎ 试题 ‎(1)∵,∴,又,∴∽。∴。又,∴,故,所以四点共圆。‎ ‎(2)由相交弦定理得:,∵,∴。∵,∴。又,∴。∴。‎ 由切割线定理得:,所以为所求。‎ 考点:几何证明选讲. ‎