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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业
1、如图,已知与圆相切,为切点,为割线,弦,相交于点,为上一点,且.
(1)求证:四点共圆;
(2)若,,求的长.
2、如图,是圆外一点,是圆的切线,为切点,割线与圆交于,,,为中点,的延长线交圆于点.
证明:(1);
(2).
3、如图,是的直径,是上一点,切于交于,且.
(1)求证:与相切;
(2)已知与交于,,求的长.
4、如图,在的内接四边形中,,过点作的切线,交的延长线于点.
(1)证明:;
(2)若,,,求的长.
5、如图所示,已知和相交于两点,过点作的切线交于点,过点作两圆的割线,分别交、于点与相交于点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若是的切线,且,求的长.
6、如图,切圆于点,点为的中点,过作圆的割线交圆于点,连接并延长交圆于点,连接并交圆于点,求证:.
7、如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.
(1)求证:△∽△;
(2)求证:四边形是平行四边形.
8、如图,的外接圆为⊙,延长至,再延长至,使得成为,的等比中项.
(1)求证:为⊙的切线;
(2)若恰好为的平分线,,,求的长度.
9、已知点是圆外的一点,过作圆的切线,切点为,过作一割线交圆于点,若,取的中点,连接,并延长交圆于.
(1)求证:四点共圆;
(2)求证:.
10、如图,是⊙的一条切线,切点为,、都是⊙的割线,.
(1)证明:;
(2)证明:.
11、如图,是⊙上的两点,为⊙外一点,连结分别交⊙于点,且,连结并延长至,使.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,且,求.
12、如图,是的外接圆,的平分线交于,交于,连接并延长,交于,交于.
(1)证明:;
(2)若求的长.
13、如图,是圆的直径,,是圆上的两点,,过点作圆的切线交的延长线于点,连接交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求圆的面积.
14、如图,已知、是圆的两条弦,且是线段的垂直平分线,已知,,求线段的长度.
15、如图,和相交于两点,过作两圆的切线分别交两圆于两点,连结并延长交于点,已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求线段的长.
16、已知中,,是外接圆劣弧上的点(不与点重合),延长至,延长至.
(1)求证:;
(2)若,中边上的高为,求外接圆的面积.
17、如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于。连结交于点。
(1)求证:;
(2)若圆的半径为,求的长。
18、如下图,已知为的直径,为上的两点,,过点作的切线交的
延长线于点,连接交于点。
求证:。
19、如下图,是圆上两点,延长至点,满足,过作直线与圆相切于点,的平分线交于点。
(1)证明:;
(2)求的值。
20、如下图,已知与圆相切,为切点,为割线,弦,相交于点,为上一点,且。
(1)求证:四点共圆;
(2)若,,求的长。
参考答案
1、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证.通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,.
试题
(1)∵,∴,又,∴∽.
∴.
又,∴,故,
所以四点共圆.
(2)由相交弦定理得:,∵,∴.
∵,∴.
又,∴.
∴.
由切割线定理得:,
所以为所求.
考点:几何证明选讲.
2、答案:试题分析:对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.
试题(1)证明:连接,由题设知,故,因为,,由弦切角等于同弦所对的圆周角,,所以,从而弧弧,因此.
(2)由切割线定理得:,因为,所以,,由相交弦定理得:,所以.
考点:切割线定理,相交弦定理.
【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题,属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是,对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.
参考答案
1、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证.通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,.
试题
(1)∵,∴,又,∴∽.
∴.
又,∴,故,
所以四点共圆.
(2)由相交弦定理得:,∵,∴.
∵,∴.
又,∴.
∴.
由切割线定理得:,
所以为所求.
考点:几何证明选讲.
2、答案:试题分析:对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.
试题(1)证明:连接,由题设知,故,因为,,由弦切角等于同弦所对的圆周角,,所以,从而弧弧,因此.
(2)由切割线定理得:,因为,所以,,由相交弦定理得:,所以.
考点:切割线定理,相交弦定理.
【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题,属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是,对问题(1),根据切割线定理以及为中点,并结合三角形的外角与内角的关系,可以证出,进而可得;对问题(2)利用问题(1)的结论并结合相交弦定理,进而可证明所需结论.
3、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)连接先得出利用三角形全等,得,从而证得与相切;(2)先由切割线定理求得的长,然后利用平行结合三角形相似和勾股定理求得的长.
试题(1)连接是的直径,,与相切.
(2)由切割线定理得:,设,则,又,则在中,.
考点:1、三角形相似的判定;2、切割弦定理;3、勾股定理.
4、答案:(1)证明见解析;(2).
试题分析:(1)由.
又是的切线.再由是四边形的一个外角;(2)由,
.
试题(1)因为,则劣弧,
所以.因为是的切线,则,从而
因为是四边形的一个外角,则
所以
(2)由(1)知,,,则,所以
因为,,则
因为,则.由切割线定理,,所以
考点:1、三角形的相似;2、切割线定理.
5、答案:(I)证明见解析;(II)
试题分析:(I)由弦切角定理,得,由同弧所对的圆周角,得,所以,,
最后由平行线的判定得;(II)在圆中利用切割线定理,算出,再在圆中由相交弦定理,得出,最后在圆中利用切割线定理,即可求出的长.
试题(I)证明:连接,是⊙的切线,,又,,∥
(II)解:设,,,,①
∥,,②
由①②可得或(舍去).
,是⊙的切线,,
考点:与圆有关的比例线段.
6、答案:试题分析:由切割线定理和中点可得,进一步判断和相似,可得,可证,得到.
试题
如图,切圆于点,点为的中点,
所以,
所以∽,
所以,又,
所以,
所以.
考点:1.相似三角形;2.切割线定理.
7、答案:试题分析:(1)先根据切割线定理得,进而得,再利用等腰三角形的性质可证;(2)先证,由得,再利用切线的性质证明,进而可得,可证结论.
试题(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,
∴,∴,
又∵,∴△∽△,
∴,即.
∵,∴,∴,
∴△∽△.
(2)∵,∴,即,
∴,∵△∽△,∴,
∵是圆的切线,∴,
∴,即,
∴,∴四边形PMCD是平行四边形.
考点:1、切割线定理的应用;2、相识三角形及平行四边形的证明.
8、答案:(1)详见解析;(2).
试题分析:(1)证明,根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线;(2)由
恰好为的平分线以及切割线定理可得,再根据~得,消去即可求解.
试题(1)∵,即,∴以~,
∴,根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线.
(2)∵为⊙的切线,∴,而恰好为的平分线,
∴,于是,由,
∴①,又由~得,②
联合①②消掉,得.
考点:1.圆的基本性质;2.切割线定理;3.相似三角形的判定与性质.
9、答案:(1)(2)见解析
试题分析:(1)利用对角互补,证明四点共圆;
(2)由切割线定理证明出,由相交弦定理可得,即可证明
试题
(1)
连接.
因为为切线,可知
∴,
所以四点共圆
(2)由切割线的定理可得,
又,∴
所以
由相交弦的定理,可得,
得,即
因为,所以
考点:四点共圆,相交弦定理
10、答案:试题分析:(1)已知,是切线,由切割线定理可得结论;(2)要证线线平行,可证明同位角相等(或内错角相等),考虑到第(1)的结论可得三角形相似,从而有,再由圆周角定理可得,从而有,于是有线线平行.
试题证明:(1)∵是⊙的一条切线,是⊙的割线,∴.
又∵,∴
(2)由(1)得,又,∴∽,∴,
∵,∴,∴.
考点:切割线定理,相似三角形的判断与性质,两直线平行的判断.
11、答案:(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)连结DC,只要判断,利用三角形全等的性质即可证得;(Ⅱ)判断,利用三角形相似的性质得到,进一步得到,即可解得.
试题
(Ⅰ)证明:连结,
因为,
,又因为,
所以,
所以.由已知,,
所以,且,
所以,所以.
(Ⅱ)解:因为,
所以∽,则,
所以
又因为,,所以,
所以.
所以
考点:三角形的相似与全等;与圆有关的比例线段.
12、答案:(1)见解析;(2).
试题分析:(1)过作交于,连接,然后根据平行线分线段成比例得,再利用角平分线的性质可推出,从而可使问题得证;(2)首先利用相交弦定理求得的长,然后利用,可得对应线段成给,即可建立关于的方法,求解即可.
试题(1)如图,过作交于,连接,
所以,
又因为,
,
同理可得.
(2)因为,又.
因为,即,
,.
考点:1、圆的基本性质;2、相似三角形的判定与性质;3、相交弦定理.
13、答案:(1)详见解析;(2).
试题分析:(1)连接,证明,从而得证;(2)由切割线定理可知
,从而可求得半径的长度,即可求得面积.
试题(1)连接,∵切圆于点,∴,
∴,∵,∴,
∵于,∴,
∴,∴;
(2)∵是圆的切线,∴,∵,,,
∴,从而,则,圆的面积为.
考点:1.圆的基本性质;2.切割线定理.
14、答案:
试题分析:连接,设相交于点,,然后利用已知条件推出是圆的直径,再利用射影定理求出的值,从而利用相交弦定理求解即可.
试题连接,设相交于点,,∵是线段的垂直平分线,
∴是圆的直径,,
则,.
由射影定理得,
即有,解得(舍)或
∴,即.
考点:1、直径的性质;2、射影定理;3、相交弦定理.
15、答案:(Ⅰ)(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)首先由弦切角定理证明得,从而利用相似比使问题得解;(Ⅱ)首先由弦切角定理证明得,从而利用相似比结合(Ⅰ)的结论求解即可.
试题(Ⅰ)∵切⊙于,∴,
同理,∴∽,∴,即.
∵,∴.
(Ⅱ)∵切⊙于,∴,又,∴∽,
∴,即.由(Ⅰ)可知,,∴.
考点:1、弦切角定理;2、相似三角形的判定与性质.
16、答案:(1)见解析;(2).
试题分析:(1)由等腰三角形性质可得,由同弧上的圆周角相等可得,再由对顶角相等可得,等量代换查证结论成立;(2)设为外接圆圆心,连接交于,则,由圆的性质用圆的半径表示,可求出,从而求出圆的面积.
试题(1)如图,由得
∵与都是同弧所对的圆周角,
∴且
故.
(2)设为外接圆圆心,连接交于,则,
连接,由题意易得,,
且,
∴,设圆半径为,则,
解得,故外接圆面积为.
考点:圆的性质.
17、答案:(1)证明见解析;(2)。
试题分析:(1)借助题设条件运用圆幂定理推证;(2)借助题设条件运用直角三角形的边角关系求解。
试题(1)证明:连接,由弦切角定理知,又,即。由切割线定理得,所以。
(2)由知,。在中,由得,。在中,由得,于是。
考点:圆幂定理及有关知识的综合运用。
18、答案:试题分析:借助题设条件运用圆幂定理推证。
试题
连接,则由是的切线可知.
故。
∵,∴。
又∵,∴。
∴,∴。
∴是的切线,∴。
∴。
考点:圆幂定理等有关知识的综合运用。
19、答案:(1)证明见解析;(2)。
试题分析:(1)由题可知
,再利用三角形外角和定理可得,进而得;(2)先证,再由切割线定理得,得,进而可得结果。
试题(1)由题可知,又,故,故。
(2)因为与分别为圆的切线和割线,所以,得。
又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故。
考点:1.相似三角形的性质;2.切割线定理的应用。
20、答案:(1)证明见解析;(2)。
试题分析:(1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也即是证通过证明∽,可有,又,∴,故;(2)由相交弦定理得:,,由,,有,,由切割线定理得:,。
试题
(1)∵,∴,又,∴∽。∴。又,∴,故,所以四点共圆。
(2)由相交弦定理得:,∵,∴。∵,∴。又,∴。∴。
由切割线定理得:,所以为所求。
考点:几何证明选讲.