2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-2利用导数研究函数的单调性课件新人教B版 19页

第二节　利用导数研究函数的单调性 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 函数的导数与单调性的关系 函数 y=f(x) 在某个区间内可导： ① 若 f′(x)>0 ，则 f(x) 在这个区间内 _________ ； ② 若 f′(x)<0 ，则 f(x) 在这个区间内 _________ ； ③ 若 f′(x)=0 ，则 f(x) 在这个区间内是 _________. 单调递增 单调递减 常数函数 【常用结论】 1. 利用导数求函数单调区间的方法 (1) 当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x) >0 或 f′(x) <0 求出单调区间 . (2) 当方程 f′(x)=0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间 f′(x) 的符号，从而确定单调区间 . (3) 若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x) 结构特征，利用图象与性质确定 f′(x) 的符号，从而确定单调区间 . 2. 两个条件 (1)f′(x)>0 是函数 f(x) 为增函数的充分不必要条件 . (2)f′(x)<0 是函数 f(x) 为减函数的充分不必要条件 . 3. 确定单调区间端点值的三个依据 (1) 导函数等于零的点 . (2) 函数不连续的点 . (3) 函数不可导的点 . 4. 三点注意 (1) 在函数定义域内讨论导数的符号 . (2) 两个或多个增 ( 减 ) 区间之间的连接符号，不用“ ∪” ，可用“，”或用“和” . (3) 区间端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 在 (a,b) 内 f′(x)≤0, 且 f′(x)=0 的根有有限个 , 则 f(x) 在 (a,b) 内是减函数 . ( 　　 ) (2) 若函数 f(x) 在定义域上都有 f′(x)<0, 则函数 f(x) 在定义域上一定单调递减 . ( 　　 ) (3) 已知函数 f(x) 在区间 [a,b] 上单调递增 , 则 f′(x)>0 恒成立 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. (2)×. 不一定 , 如函数 y= 的导函数 y′=- <0 恒成立 , 但是函数 y= 的图象 不是恒下降的 . (3)×. 不一定 , 如 y=x 3 在 [-1,3] 上单调递增 , 但是 y′=3x 2 在 x=0 处的值为 0. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽视定义域优先的原则 考点一、 T1,2 2 分类讨论时分类标准出错 考点二、典例 3 已知单调性求参数的问题时 , 所列不等式是否取等号出错 考点三、角度 3 【教材 · 基础自测】 1 .( 选修 2-2P25 例 3 改编 ) 函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为 ( 　　 ) A.(0,1) 　　　　 B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 【解析】 选 A. 函数的定义域是 (0,+∞), 且 f′(x)=1- , 令 f′(x)<0, 得 0x 1 时 , 导函数 f ′(x)=ax 2 +bx+c<0, 知相应的函数 f(x) 在该区间上单调递减 ; 当 00, 知相应的函数 f(x) 在该区间上单调递增 . 3.( 选修 2-2 P27 练习 AT4 改编 ) 利用导数讨论指数函数 f(x)=a x (a>0,a≠1) 的单调性 . 【 解析】 指数函数 f(x)=a x 的定义域为 R, 因为 f′(x)=a x ln a, 对于任意 x∈R, 总有 a x >0, 所以当 01 时 ,ln a>0,f′(x)>0, 函数在 R 上单调递增 . 综上 , 当 01 时 , 函数 f(x)=a x 单调递增 . 解题新思维　构造法的应用   【结论】 构建新函数解答比较大小和不等式问题 分析已知条件的特点构造新的函数 , 对新函数求导确定其单调性 , 再由单调性进行大小的比较 . 【典例】 (2020 · 凉山模拟 ) 若 0b>c 　　　　 B.c>b>a C.a>c>b 　 D.c>a>b 【解析】 选 D. 令 h(x)=xf(x), 因为函数 y=f(x) 以及函数 y=x 是 R 上的奇函数 , 所以 h(x)=xf(x) 是 R 上的偶函数 . 又因为当 x<0 时 ,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0, 所以函数 h(x) 在 x∈(-∞,0) 时单调递减 , 所以 h(x) 在 x∈(0,+∞) 时单调递增 . 因为 a=3 0.3 · f(3 0.3 )=h(3 0.3 ), b=log π 3 · f(log π 3)=h(log π 3), c= =(-2) · f(-2) =h(-2)=h(2), 且 0h(3 0.3 )>h(log π 3), 即 c>a>b.