【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十一章　第4讲　概率统计中的数学建模与数据分析作业 7页

第4讲　概率统计中的数学建模与数据分析 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·石家庄市模拟(一))东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：‎ 销售量/份 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 天数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎(1)根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份；‎ ‎(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？‎ 解：(1)平均每天销售的份数为 ＝17.3.‎ ‎(2)当购进17份时，利润为 ‎17×4×＋(16×4－8)×＋(15×4－16)×＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．‎ 当购进18份时，利润为 ‎18×4×＋(17×4－8)×＋(16×4－16)×＋(15×4－24)×＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．‎ ‎63．2>60，‎ 可见，当购进17份时，利润更大．‎ ‎2．(2020·贵阳第一学期检测)A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图(1)所示的茎叶图．‎ ‎(1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)；‎ ‎(2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a的值；‎ ‎(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率．‎ 解：(1)女生打分的平均数为×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；‎ 男生打分比较分散．‎ ‎(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在[70，80)内的有9人，则a＝÷10＝0.045.‎ ‎(3)设“有女生被抽中”为事件A，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a，b，c，d，2名女生分别记为m，n，‎ 从中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn，共15种，其中有女生被抽中的事件有am，an，bm，bn，cm，cn，dm，dn，mn，共9种，所以P(A)＝＝.‎ ‎3．(2020·郑州市第一次质量预测)2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎40‎ p x 注射疫苗 ‎60‎ q y 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.‎ ‎(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值；‎ ‎(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？‎ ‎(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．‎ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：(1)由＝，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100.‎ ‎(2)由K2＝.‎ 得K2＝＝8<10.828，‎ 所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．‎ ‎(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例3∶2抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：‎ ‎(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种．‎ 其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种．‎ 所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.‎ ‎4．(2020·济南市模拟考试)某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M.如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．‎ ‎(1)结合柱状图，写出集合M；‎ ‎(2)根据以上信息，求一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；‎ ‎(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，‎ 则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯(其中b∈M，a＋b＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？‎ 解：(1)由题意可知，当一级滤芯更换9，10，11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，‎ 所以M＝{3，4}．‎ ‎(2)由题意可知，‎ 二级滤芯更换3个，需1 200元，二级滤芯更换4个，需1 600元，‎ 在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，‎ 二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，‎ 设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元”为事件A，则P(A)＝＝0.3.‎ ‎(3)a＋b＝14，b∈M，‎ ‎①若a＝10，b＝4，‎ 则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为＝2 000.‎ ‎②若a＝11，b＝3，‎ 则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为 ＝1 880.‎ 所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．‎ ‎5．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：‎ ‎(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；‎ ‎(2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？‎ 解：(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为甲＝(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(cm)，‎ 乙厂这批轮胎宽度的平均值为乙＝(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(cm)．‎ ‎(2)甲厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，‎ 平均数为1＝(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195(cm)，‎ 方差为s＝[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝，‎ 乙厂这批轮胎宽度为[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，‎ 平均数为2＝(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195(cm)，‎ 方差为s＝[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝，‎ 因为两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，‎ 所以乙厂的轮胎相对更好．‎ ‎6．(2020·贵阳市第一学期监测)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖 也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：‎ ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 外卖甲日接单x/百单 ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎11‎ 外卖乙日接单y/百单 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；‎ ‎(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．‎ ‎①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；‎ ‎②经计算求得y与x之间的回归方程为＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．‎ 相关公式：r＝.‎ 参考数据： (xi－)(yi－)＝66，‎ ≈77.‎ 解：(1)由题可知＝＝7(百单)，‎ ＝＝7(百单)．‎ 外卖甲的日接单量的方差s＝10，外卖乙的日接单量的方差s＝23.6，‎ 因为＝，s0.75，‎ 所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．‎ ‎②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，‎ 又20.02×100×3＝6 006，‎ 所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元．‎