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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第71课平面与平面垂直作业(江苏专用)

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随堂巩固训练(71)‎ ‎ 1. 若α⊥β,α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m⊥l,则直线m,n所成的角是 90° .‎ 解析:因为α∩β=l,α⊥β,m⊂α,m⊥l,所以m⊥β.又因为n⊂β,所以m⊥n,所以直线m,n所成的角是90°.‎ ‎ 2. 如果—个平面与另—个平面的垂线平行,那么这两个平面的位置关系为 垂直 .‎ 解析:由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可知,如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面垂直.‎ ‎ 3. 设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ③ .(填序号)‎ ‎①若α⊥β,a∥α,则a⊥β;‎ ‎②若α⊥β,a⊥β,则a∥α;‎ ‎③若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.‎ 解析:若α⊥β,a∥α,则a与β相交、平行或a⊂β,故①错误;若α⊥β,a⊥β,则a∥α或a⊂α,故②错误;若a⊥b,a⊥α,则b∥a或b⊂α.又因为b⊥β,所以α⊥β,故③正确.‎ ‎ 4. 设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是 ③ .(填序号)‎ ‎①a⊥α,b∥β,α⊥β;      ②a⊥α,b⊥β,α∥β;‎ ‎③a⊂α,b⊥β,α∥β;   ④a⊂α,b∥β,α⊥β.‎ 解析:对于①,若a⊥α,b∥β,α⊥β,则直线a与b的关系可能是平行、相交或异面;对于②,若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b;对于③,若a⊂α,b⊥β,则b⊥α,所以a⊥b;对于④,若a⊂α,b∥β,α⊥β,则a与b可能平行、相交或异面.综上,由③可得a⊥b.‎ ‎ 5. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,连结PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是 ①② .‎ ‎①平面PAB⊥平面PBC;‎ ‎②平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎③平面PAB⊥平面PCD.‎ 解析:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.又在正方形ABCD中,BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.又因为BC⊂平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC,故①正确;同理可得AD⊥平面PAB,AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB,故②正确;设平面PAB∩平面PCD=l,因为AB∥CD,AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB,所以CD∥l.又因为AB⊥平面PAD,所以l⊥平面PAD,所以∠APD为平面PAB与平面PCD所成的二面角.若平面PAB⊥平面PCD,则AP⊥PD,显然不成立,故③错误.‎ ‎ 6. 可以作为平面α∥平面β的条件是 ④ .(填序号)‎ ‎①存在一条直线a,a∥α,a∥β;‎ ‎②存在一条直线a,a⊂α,a∥β;‎ ‎③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;‎ ‎④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.‎ 解析:因为a∥β,所以平面β中存在a′∥a.因为b∥α,所以平面α内存在b′,使得b∥b′,且a′与b相交,a与b′相交,所以α∥β.‎ ‎ 7. 已知P为△ABC所在平面外一点,正三角形PBC、正三角形ABC的边长都为2,PA=,则平面PBC和平面ABC的位置关系为 垂直 .‎ 解析:‎ 取BC的中点为D,连结AD,PD,如图所示.因为PB=PC,BD=CD,所以PD⊥BC.因为正三角形PBC和正三角形ABC的边长都为2,PA=,所以PD=AD=,所以PA2=AD2+PD2,所以PD⊥AD.又因为BC∩AD=D,所以PD⊥平面ABC.又因为PD⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.‎ ‎ 8. 设b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列命题中真命题是 ④ .(填序号)‎ ‎①若b⊂α,c∥α,则b∥c;  ②若b⊂α,b∥c,则c∥α;‎ ‎③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;  ④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.‎ 解析:若b⊂α,c∥α,则b∥c或b与c异面,故①错误;若b⊂α,b∥c,则c∥α或c⊂α,故②错误;若c∥α,α⊥β,则可能c∥β,可能c⊂β,故③错误;根据面面垂直的判定可知④是真命题.‎ ‎ 9. 已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题的个数为 2 .‎ 解析:若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题,故真命题有2个.‎ ‎10. 已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:‎ ‎①三棱锥AD1PC的体积不变;‎ ‎②A1P∥平面ACD1;‎ ‎③DP⊥BC1;‎ ‎④平面PDB1⊥平面ACD1.‎ 其中正确命题的序号是 ①②④ .‎ 解析:由题意知AD1∥BC1,因为AD1⊂平面AD1C,BC1⊄平面AD1C,所以BC1∥平面AD1C,所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以VAD1PC=VPAD1C=VBAD1C,故①正确;对于②,连结A1B,A1C1,则A1C1∥AC,由①知AD1∥BC1,所以平面BA1C1∥平面ACD1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以A1P∥平面ACD1,故②正确;对于③,因为DC⊥平面BCC1B1,所以DC⊥BC1.若DP⊥BC1,则BC1⊥平面DCP,则BC1⊥PC,所以P为BC1的中点,与P为动点矛盾,故③错误;对于④,连结DB1,因为AC⊥平面BB1D1D,DB1⊂平面BB1D1D,所以AC⊥DB1,同理可得AD1⊥DB1.又因为AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1.又因为DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④正确.‎ ‎11. 如图,已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中,‎ AB=AC,D为线段BC的中点.‎ ‎ (1) 求证:A1B∥平面ADC1;‎ ‎(2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1,求证:AD⊥DC1.‎ 解析:(1) 连结A1C交AC1于点E,连结DE.‎ 因为四边形AA1C1C是平行四边形,所以E是A1C的中点.‎ 因为D是BC的中点,所以DE∥A1B.‎ 又因为DE⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.‎ ‎(2) 因为在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.‎ 又因为平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AD⊂平面ABC,‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.‎ 因为DC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥DC1.‎ ‎12. 如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F分别是CD,PC的中点.求证:‎ ‎(1) PA⊥底面ABCD;‎ ‎(2) BE∥平面PAD;‎ ‎(3) 平面BEF⊥平面PCD.‎ 解析:(1) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,所以PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2) 因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE且AB=DE,‎ 所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.‎ 又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.‎ ‎(3) 因为AB⊥AD,所以四边形ABED为矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.‎ 由(1)知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,‎ 又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.‎ 又E,F分别为CD,CP的中点,‎ 所以EF∥PD,故CD⊥EF.‎ 因为EF,BE⊂平面BEF,且EF∩BE=E,‎ 所以CD⊥平面BEF.‎ 又因为CD⊂平面PCD,‎ 所以平面BEF⊥平面PCD.‎ 思维升华:(1) 判定面面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎(2) 在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎13. 如图,已知在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线BD把△ABD折起,使得点A 移到点A1,且点A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.求证:‎ ‎(1) BC⊥A1D;‎ ‎(2) 平面A1BC⊥平面A1BD.‎ 解析:(1) 因为点A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O⊥平面BCD.‎ 又BC⊂平面BCD,所以BC⊥A1O.‎ 又BC⊥CD,A1O∩CD=O,‎ 所以BC⊥平面A1CD.‎ 又A1D⊂平面A1CD,‎ 所以BC⊥A1D.‎ ‎(2) 因为四边形ABCD为矩形,所以A1B⊥A1D.‎ 由(1)知BC⊥A1D,A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BC,‎ 所以A1D⊥平面A1BC.‎ 又A1D⊂平面A1BD,‎ 所以平面A1BC⊥平面A1BD.‎